Kwadratische formules en vergelijkingen: Kwadratische vergelijkingen
Kwadratische vergelijkingen oplossen met kwadraatafsplitsen
We hebben gezien hoe we een kwadratische vergelijking van de vorm #x^2=c# met #c# een getal kunnen oplossen door aan beide zijden van de vergelijking de wortel te trekken. Op dezelfde wijze kunnen we kwadratische vergelijkingen van de vorm #\left(x+a\right)^2=c#, waarbij #a# en #c# getallen zijn, oplossen.
#\begin{array}{rcl} \left(x+5\right)^2&=&{{9}\over{4}} \\ &&\phantom{x}\blue{\text{de gegeven vergelijking}}\\ x+5 = -\sqrt{{{9}\over{4}}} &\lor& x+5 = \sqrt{{{9}\over{4}}} \\ &&\phantom{x}\blue{\text{aan beide kanten wortel getrokken}}\\ x+5 = -{{3}\over{2}} &\lor& x+5 = {{3}\over{2}} \\ &&\phantom{x}\blue{\text{uitgerekend}}\\ x=-5-{{3}\over{2}} &\lor& x=-5+{{3}\over{2}} \\ &&\phantom{x}\blue{\text{beide zijden min }5}\\ x=-{{13}\over{2}} &\lor& x=-{{7}\over{2}} \\ &&\phantom{x}\blue{\text{uitgerekend}} \end{array}#
Nu we gezien hebben hoe we een kwadratische vergelijking van de vorm #\left(x+a\right)^2=c# kunnen oplossen, is het interessant om te kijken naar een manier om een kwadratische formule in de vorm #\left(x+a\right)^2+c# te schrijven. Dit doen we met kwadraatafsplitsen.
\[x^2+\green bx+\purple c=\left(x+\frac{\green b}{2}\right)^2-\left(\frac{\green b}{2}\right)^2+\purple c\]
Voorbeeld
#\begin{array}{rcl}
x^2+\green 2x&=&\left(x+\dfrac{\green 2}{2}\right)^2-\left(\dfrac{\green 2}{2}\right)^2\\
&=& (x+1)^2-1
\end{array}#
We kunnen nu de vaardigheid van het oplossen van een kwadratische vergelijking van de vorm #\left(x+a\right)^2=c# gecombineerd met kwadraatafsplitsen gebruiken om kwadratische vergelijkingen op te lossen.
Kwadratische vergelijking oplossen met kwadraatafsplitsen
Stappenplan |
Voorbeeld | |
We lossen een kwadratische vergelijking in onbekende #x# op met kwadraatafsplitsen. |
#2x^2+6x+4=-6x+2# | |
Stap 1 |
Herleid de rechterkant van de vergelijking op #0#. |
#2x^2+12x+2=0# |
Stap 2 |
Zorg dat de coëfficiënt voor #x^2# gelijk is aan #1# door te delen door de coëfficiënt van #x^2#. |
#x^2+6x+1=0# |
Stap 3 |
Splits een kwadraat af aan de linkerkant. |
#\left(x+3\right)^2-9+1=0# |
Stap 4 |
Los de ontstane vergelijking op door herleiding. |
#x=-3-\sqrt{8} \lor x=-3+\sqrt{8}# |
#\begin{array}{rcl}
x^2-4 x-5&=&0\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{oorspronkelijke vergelijking}}\\
(x-2)^2-2^2-5&=&0\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{van }x^2-4x\text{ kwadraat afgesplitst}}\\
(x-2)^2&=&2^2+5\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{alles buiten de haakjes naar de rechter kant gebracht}}\\
(x-2)^2&=&9\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{rechter lid vereenvoudigd}}\\
x-2=\sqrt{9} &\lor&x-2=-\sqrt{9}\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{aan beide kanten wortel getrokken}}\\
x=5&\lor& x=-1\\
&&\phantom{xxx}\blue{-2 \text{ aan beide kanten afgetrokken}}\\
\end{array}
#
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.