Een kwadratische formule met een bergparabool als grafiek heeft een hoogste punt. Een kwadratische formule met een dalparabool als grafiek heeft een laagste punt. Dit hoogste en laagste punt noemen we de top van de grafiek. We zullen twee manieren bekijken om de top te bepalen.
De top van een kwadratische formule \[y=a\left(x-\blue p\right)^2+\green q\] is het punt \[\rv{\blue p,\green q}\]
Om de top van een kwadratische formule in een andere vorm te bepalen splitsen we het kwadraat zodat we de formule kunnen herschrijven in de vorm \[y=a\left(x-\blue p\right)^2+\green q\]
Ook als de coëfficiënt van de term #x^2# niet gelijk is aan #1#, kunnen we kwadraatafsplitsen.
|
Stappenplan |
Voorbeeld |
|
We splitsen een kwadraat af bij de uitdrukking #\blue ax^2+\green bx+\purple c#.
|
#\blue4x^2+\green{24}x+\purple9# |
Stap 1 |
Herschrijf de uitdrukking tot #\blue a\left(x+\tfrac{\green b}{\blue a}x\right)+\purple c#.
|
#=\blue 4\left(x^2+6x\right)+\purple 9# |
Stap 2 |
Splits het kwadraat af van #\left(x+\tfrac{\green b}{\blue a}x\right)#.
|
#=\blue 4 \left(\left(x+3\right)^2-9\right)+\purple 9# |
Stap 3 |
Werk de buitenste haakjes weg.
|
#=\blue 4\left(x+3\right)^2-36+\purple 9# |
Stap 4 |
Tel de constanten bij elkaar op.
|
#=\blue 4\left(x+3\right)^2-27# |
Bekijk de kwadratische formule #y=-3x^2+6x+2#.
Om de top te bepalen willen we de formule schrijven in de vorm #a\left(x-\blue p\right)^2+\green q#. Dit gaat als volgt:
\[\begin{array}{rcl}y&=&-3x^2+6x+2 \\ &&\phantom{xxxxx}\blue{\text{de gegeven formule}} \\&=&-3 \left(x-2x\right)+2 \\ &&\phantom{xxxxx}\blue{-3 \text{ buiten haakjes gehaald}}\\&=&-3 \left(\left(x-1\right)^2-1\right)+2 \\ &&\phantom{xxxxx}\blue{\text{kwadraat afgesplitst}}\\ &=&-3\left(x-1\right)^2+3+2 \\ &&\phantom{xxxxx}\blue{\text{haakjes uitgewerkt}} \\ &=&-3\left(x-1\right)^2+5 \\ &&\phantom{xxxxx}\blue{\text{vereenvoudigd}} \end{array}\]
Dus we kunnen #y=-3x^2+6x+2# schrijven als #-3\left(x-\blue{1} \right)^2+\green5 #. Dit betekent dat de top gelijk is aan #\rv{\blue{1},\green{5}}#.
De #x#-coördinaat van de top van een kwadratische formule #y=\blue a x^2+\green b x + \purple c# is gelijk aan \[x_{\text{top}}=-\frac{\green b}{2 \blue a}\]
De #y#-coördinaat van de top kunnen we dan bepalen door #x_{\text{top}}=-\frac{\green b}{2 \blue a}# te substitueren in de formule.
Dus \[y_{\text{top}}=\blue a x_{\text{top}}^2+\green b x_{\text{top}} + \purple c\]
Bekijk de kwadratische formule #y=\left(x+1\right)\left(x-5\right)#.
Om de top te bepalen willen we de formule schrijven in de vorm #\blue a x^2+\green b x + \purple c#. Dit gaat als volgt:
\[\begin{array}{rcl}y&=&\left(x+1\right)\left(x-5\right) \\ &&\phantom{xxxxx}\blue{\text{de gegeven formule}} \\&=& x^2-5x+x-5 \\ &&\phantom{xxxxx}\blue{\text{haakjes uitwerkt}}\\ &=& x^2-4x-5 \\ &&\phantom{xxxxx}\blue{\text{vereenvoudigd}}\end{array}\]
Dus we kunnen #y=\left(x+1\right)\left(x-5\right)# schrijven als #x^2\green{-4}x\purple{-5}#. Dat betekent dat de #x#-coördinaat van de top gelijk is aan #x_{\text{top}}=-\frac{\green{-4}}{2 \cdot \blue1}=2#. Om de #y#-coördinaat van de top te bepalen, substitueren we deze waarde in de formule:
\[y_{\text{top}}=\left(2+1\right)\left(2-5\right)=-9\]
Dus de top is #\rv{2,-9}#.
We kunnen deze formule voor de top bewijzen met kwadraatafsplitsen. Dat gaat als volgt:
\[\begin{array}{rcl}\blue ax^2+\green bx+\purple c &=& \blue a \left(x+\frac{\green{b}}{\blue a}\right)+\purple c\\ &&\phantom{xxxxx}\blue{a \text{ buiten haakjes gehaald}}\\ &=& \blue a \left(\left(x+\frac{\green{b}}{2\blue a}\right)^2-\left(\frac{\green{b}}{2\blue a}\right)^2\right)+\purple c \\ &&\phantom{xxxxx}\blue{\text{kwadraat afgesplitst}}\\ &=& \blue a\left(x+\frac{\green{b}}{2 \blue a}\right)^2-\blue a \cdot \left(\frac{\green b}{2\blue a}\right)^2+\purple c \\ &&\phantom{xxxxx}\blue{\text{haakjes uitgewerkt}} \\ &=& \blue a\left(x+\frac{\green{b}}{2 \blue a}\right)^2- \frac{\green b^2}{4\blue a}+\purple c \\ &&\phantom{xxxxx}\blue{\text{vereenvoudigd}}\end{array}\]
Dus de top is #\rv{-\frac{\green{b}}{2 \blue a}, -\frac{\green b^2}{4\blue a}+\purple c}#.
Merk op dat de #y#-coördinaat van de top #-\frac{\green b^2}{4\blue a}+\purple c# inderdaad overeen komt met het substitueren van #x_{\text{top}}# in #\blue ax^2+\green bx+\purple c#, want \[\begin{array}{rcl}y_{\text{top}}&=& \blue a \cdot \left(-\frac{\green b}{2 \blue a}\right)^2+\green b \cdot-\frac{\green b}{2 \blue a} + \purple c \\ && \phantom{xxxxx}\blue{x_{\text{top}}=-\frac{ b}{2 a} \text{gesubsitueerd in de formule }ax^2+ b x + c}\\ &=&\blue a \cdot \frac{\green b^2}{4 \blue a^2}+\green b \cdot-\frac{\green b}{2 \blue a} + \purple c \\ && \phantom{xxxxx}\blue{\text{kwadraat uitgewerkt}} \\ &=&\frac{\green b^2}{4 \blue a}-\frac{\green b^2}{2 \blue a} + \purple c \\ && \phantom{xxxxx}\blue{\text{vermenigvuldigd}} \\ &=&\frac{\green b^2}{4 \blue a}-\frac{2\green b^2}{4 \blue a} + \purple c \\ && \phantom{xxxxx}\blue{\text{breuken gelijknamig gemaakt}} \\&=& -\frac{\green b^2}{4\blue a}+\purple c\\ && \phantom{xxxxx}\blue{\text{breuken opgeteld}} \end{array}\]
Bereken de top van de formule
\[y=2\cdot \left(x-2\right)^2-2\]
Geef je antwoord als #\rv{a,b}# met exacte waarden voor #a# en #b#.
#\rv{2,-2}#
De top van een kwadratische formule #y=a \left(x-p\right)^2+q# is gelijk aan #\rv{p,q}#.
Dus de coördinaten van de top van #y=2\cdot \left(x-2\right)^2-2# is gelijk aan #\rv{2, -2}#.