Hogeregraadsvergelijkingen en de abc-formule

Functies: Hogeregraadsfuncties

Hogeregraadsvergelijkingen en de abc-formule

Sommige vergelijkingen met polynomen kunnen we oplossen met de abc-formule. We gebruiken hiervoor substitutie.

	Stappenplan We lossen een vergelijking met polynomen in $x$ op met de abc-formule.	Voorbeeld $2x^4+3x^2-2=0$
Stap 1	Schrijf de vergelijking in de vorm $a \blue x^{\blue n \cdot 2}+b \blue{x^n} +c=0$ .	$2\blue{x}^{\blue2 \cdot 2}+3\blue{x^2}-2=0$
Stap 2	Substitueer $\blue{x^n}=\green u$ .	$2\green u^2+3\green u-2=0$
Stap 3	Los de ontstane kwadratische vergelijking in $\green u$ op met de abc-formule.	$\green u=-2 \lor \green u =\tfrac{1}{2}$
Stap 4	Substitueer $\green u =\blue{x^n}$ in de gevonden oplossing(en).	$\blue{x^2}=-2 \lor \blue{x^2}=\tfrac{1}{2}$
Stap 5	Bepaal de oplossingen in $x$ van de in stap 4 ontstane vergelijkingen.	$x=-\tfrac{1}{\sqrt{2}} \lor x=\tfrac{1}{\sqrt{2}}$

Los $x$ op in de vergelijking
$30\cdot x^{14}-11\cdot x^7-7=0\tiny$
Geef je antwoord in de vorm $x=x_1\lor x=x_2 \lor \ldots \lor x=x_n$ , waarbij $x_1$ , $x_2$ , $\ldots$ , $x_n$ getallen zijn en $n$ het aantal oplossingen.

$x=\sqrt[7]{-{{1}\over{3}}} \lor x=\sqrt[7]{{{7}\over{10}}}$

Stap 1	We schrijven de vergelijking in de vorm: $30 x^{2 \cdot 7}-11 x^{7}-7=0$
Stap 2	We substitueren $x^7=u$ . Dat geeft: $30 u^2-11 u-7=0$
Stap 3	We lossen de ontstane vergelijking in $u$ op met de abc-formule. De discriminant is gelijk aan: $\begin{array}{rcl}D&=&b^2-4ac \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{formule voor de discriminant}}\\ &=& \left(-11\right)^2-4 \cdot 30 \cdot -7 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{formule ingevuld}}\\ &=& 961 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{uitgerekend}}\end{array}$ Aangezien de discriminant positief is, zijn er twee oplossingen. Deze zijn: $\begin{array}{rcl}u=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a} &\lor& u=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{formule voor de oplossingen}}\\ u=\frac{-{-11}-\sqrt{961}}{2 \cdot 30} &\lor& u=\frac{-{-11}+\sqrt{961}}{2 \cdot 30}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{formule ingevuld}}\\ u=-{{1}\over{3}} &\lor& u={{7}\over{10}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{uitgerekend}}\end{array}$
Stap 4	Nu substitueren we $u=x^{7}$ in de gevonden oplossingen dat geeft $x^{7}=-{{1}\over{3}} \lor x^{7}={{7}\over{10}}$
Stap 5	Tot slot lossen we deze vergelijkingen op de wortel te nemen. Dat geeft als oplossingen van de oorspronkelijke vergelijking: $x=\sqrt[7]{-{{1}\over{3}}} \lor x=\sqrt[7]{{{7}\over{10}}}$

Nieuw voorbeeld