Machtsfuncties met negatieve exponenten

Functies: Gebroken functies

Machtsfuncties met negatieve exponenten

Machtsfu‍nctie met negatieve exponent

Een mach‍tsfunctie met een negatieve gehele exponent heeft de vorm

$f(x)=\blue{a}x^{-\orange{n}}$

waarbij $\orange{n}$ een positief geheel getal is.

We kunnen deze functie ook schrijven als

$f(x)=\frac{\blue{a}}{x^{\orange{n}}}$

De grafiek van een machtsfunctie met een gehele negatieve exponent gaat door het punt $\rv{1,\blue{a}}$ , heeft een verticale asymptoot bij $x=0$ en horizontale asymptoot bij de lijn $y=0$ .

Als $\orange{n}$ even is, is de functie symmetrisch met de $y$ -as als symmetrieas. Als $\orange{n}$ oneven is, heeft de functie het punt $\rv{0,0}$ als punt van symmetrie.

GeoGebra Negatieve machtsfunctie

Een machtsfunctie met negatieve exponent heeft een verticale asymptoot bij $x=0$ . Dit komt doordat er niet gedeeld mag worden door $0$ , dus de functiewaarde bij $f(0)$ niet bestaat. Het domein van een machtsfunctie met negatieve exponent zijn dus alle getallen behalve $x=0$ .

Het bereik van een machtsfunctie met even negatieve exponent is als $\blue a \gt 0$ gelijk aan alle positieve getallen. Als $\blue a \lt 0$ dan is het bereik gelijk aan alle negatieve getallen.

Voor een machtsfunctie met oneven negatieve exponent is het bereik gelijk aan alle getallen behalve $0$ .

Ev‍en en on‍even functie

Voor even $\orange{n}$ noemen we $f(x)=\frac{\blue{a}}{x^{\orange{n}}}$ een even functie. Dat betekent dat:

$f(-x)=f(x)$

Dit is dus een andere manier om te beschrijven dat de grafiek symmetrisch is in de $y$ -as.

Voor oneven $\orange{n}$ noemen we $g(x)=\frac{\blue{a}}{x^{\orange{n}}}$ een oneven functie. Dat betekent dat:

$g(-x)=-g(x)$

Dit is dus een andere manier om te beschrijven dat de grafiek puntsymmetrisch is in het punt $\rv{0,0}$ .

Voorbeeld

Voor $f(x)=\frac{\blue{1}}{x^{\orange{4}}}$ geldt:

$f(-2)=\frac{\blue1}{\left(-2\right)^{\orange{4}}}=\frac{1}{16}=\frac{\blue1}{\left(2\right)^{\orange{4}}}=f(2)$

Voor $g(x)=\frac{\blue1}{x^{\orange{3}}}$ geldt:

$f(-2)=\frac{\blue1}{\left(-2\right)^{\orange{3}}}=\frac{1}{8}=-\frac{\blue1}{\left(2\right)^{\orange{3}}}=-f(2)$

Bekijk de grafiek van een machtsfunctie met negatieve exponent, dit is een functie van de vorm $f(x)=\frac{a}{x^n}$ .

Wat weten we over de waarde van $n$ en $a$ ?

De waarde van $n$ is: oneven
De waarde van $a$ is: negatief

De grafiek is symmetrisch in het punt $\rv{0,0}$ , dus de waarde van $n$ is oneven.
De $y$ -waarde is negatief als de waarde van $x$ positief is, dus de waarde van $a$ is negatief.

Nieuw voorbeeld