Functies: Gebroken functies
Quotiëntfuncties
We hebben al verschillende soorten gebroken functies gezien. Eerst zagen we de functie #f(x)=\tfrac{1}{x}#. Vervolgens zagen we machtsfuncties met een negatieve exponent van de vorm #f(x)=\tfrac{a}{x^n}#. Daarna zagen we gebroken lineaire functies van de vorm #f(x)=\tfrac{ax+b}{cx+d}#. Tot slot zullen we kijken naar quotiëntfuncties.
Een quotiëntfunctie is een functie van de vorm \[f(x)=\frac{\blue A}{\green B}\] Hierbij zijn #\blue A# en #\green B# polynomen.
Bij quotiëntfuncties is het domein gelijk aan alle waarden van #x# waarvoor #\green B \ne 0#.
Het bereik is afhankelijk van de functie. Eventuele horizontale asymptoten kunnen gevonden door te beredeneren wat er gebeurt als #x# heel groot wordt.
#f(x)=\frac{\blue{3x+3}}{\green{x^2-4}}#
- #\frac{1}{x^2+1}# heeft geen verticale asymptoten
- de verticale asymptoten van #\frac{1}{x^2-1}# zijn #x=-1# en #x=1#
Dit is in te zien door de nulpunten van de noemer te bepalen:
- Voor #\frac{1}{x^2+1}# is de noemer dan en slechts dan gelijk aan #0# als #x^2+1=0#. Omdat het linker lid positief is, is dit nooit het geval. Er zijn dus geen verticale asymptoten.
- Voor #\frac{1}{x^2-1}# is de noemer dan en slechts dan gelijk aan #0# als #x^2-1=0#. Omdat het linker lid te ontbinden is als #(x+1)\cdot(x-1)#, zijn de waarden van #x# waarvoor de noemer #0# is, #-1# en #1#. De verticale asymptoten zijn dus #x=-1# en #x=1#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.