Getallen: Machten en wortels
Standaardvorm van hogeremachtswortels
Net als bij tweedemachtswortels kunnen we bij hogeremachtswortels met behulp van de rekenregels de wortel in de standaardvorm schrijven.
We spreken af dat als er een hogeremachtswortel in een antwoord staat, we deze vereenvoudigen tot de standaardvorm. Dat betekent dat de hogeremachtswortel aan de volgende regels moet voldoen:
- We brengen een zo groot mogelijke factor voor het wortelteken.
Dit betekent dat we de machten van de wortel uit het getal onder het wortelteken halen.
\[\sqrt[\green3]{16}=\sqrt[\green3]{2^\green3 \times 2}=\sqrt[\green3]{2^\green3} \times \sqrt[\green3]{2}=2\sqrt[\green3]{2}\] - We zorgen ervoor dat er geen hogeremachtswortels in de noemer van de breuk voorkomen.
Dit doen we door de teller en de noemer van de breuk met een getal te vermenigvuldigen zodanig dat de noemer geen wortel meer bevat. Een slimme keuze voor dit getal is de hogeremachtswortel uit de noemer, verheven tot de macht van de wortel min #1#.
\[\frac{1}{\sqrt[\green4]{3}}=\frac{\left(\sqrt[\green4]{3}\right)^{\green4-1}}{\sqrt[\green4]{3} \times \left(\sqrt[\green4]{3}\right)^{\green4-1}}=\frac{\left(\sqrt[\green4]{3}\right)^3}{3}\] - We maken de macht van de hogeremachtswortel zo laag mogelijk.
Dit doen we door te kijken of het getal onder het wortelteken te schrijven is als een macht die een deler is van de macht van de wortel.
\[\sqrt[\green8]{324}=\sqrt[\green8]{18^2}=\sqrt[4]{18}\]
Voorbeelden
\[\begin{array}{rcl}\sqrt[\green4]{96}&=&\sqrt[\green4]{2^\green4 \times 6} \\ &=& \sqrt[\green4]{2^\green4} \times \sqrt[\green4]{6} \\ &=& 2 \sqrt[\green4]{6} \\ \\\sqrt[\green5]{15552}&=&\sqrt[\green5]{2^\green5 \times 3^\green5 \times 2} \\&=& \sqrt[\green5]{2^\green5} \times \sqrt[\green5]{3^\green5} \times \sqrt[\green5]{2} \\ &=& 2 \times 3 \times \sqrt[\green5]{2} \\ &=& 6 \sqrt[\green5]{2} \\ \\ \dfrac{2}{\sqrt[\green3]{5}}&=& \dfrac{2 \left(\sqrt[\green3]{5}\right)^2}{\sqrt[\green3]{5} \times \left(\sqrt[\green3]{5}\right)^2}\\ &=& \dfrac{2 \left(\sqrt[\green3]{5}\right)^2}{5} \\ \\ \sqrt[\green6]{225}&=& \sqrt[\green6]{15^2}\\&=&\sqrt[3]{15}\end{array}\]
#\begin{array}{rcl}
\sqrt[4]{29900390625}&=& \sqrt[4]{{3}^{7}\times {5}^{9}\times {7}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{getal onder wortelteken in priemontbinding geschreven}} \\
&=& \sqrt[4]{3^{4} \times {3}^{3}\times \left({5}^{2}\right)^{4} \times 5\times {7}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{machten van }4\text{ afgesplitst met behulp van rekenregels voor machten}}\\
&=& \sqrt[4]{3^{4} } \times \sqrt[4]{\left({5}^{2}\right)^{4}} \times \sqrt[4]{ {{3}^{3}\times } {5\times } 7 } \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{rekenregel: hogeremachtswortel van een product is het product van hogeremachtswortels}} \\
&=& 3\times {5}^{2}\times \sqrt[4]{ {{3}^{3}\times } {5\times } 7 } \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{wortel(s) weggewerkt}} \\
&=& 75 \sqrt[4]{945}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{uitgerekend}}
\end{array}#
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.