Meetkunde: Cirkels
Snijpunten cirkels
We hebben gezien hoe we de snijpunten van een lijn en cirkel kunnen berekenen. Ook twee cirkels kunnen geen, één of twee snijpunten hebben.
In de figuur zien we een cirkel #\blue c# met middelpunt #M# en een cirkel #\green d# met middelpunt #N#. Verander de straal van de cirkels met de schuifbalken of versleep het middelpunt van de cirkels en bekijk wat er gebeurt het het aantal snijpunten.
In het onderstaande stappenplan staat hoe we de snijpunten van twee cirkels kunnen vinden.
Snijpunten van twee cirkels berekenen
Stappenplan |
Voorbeeld | |
We berekenen de coördinaten van de snijpunten van cirkel #\blue c# en #\green d#. |
#\blue c : \blue{x^2+y^2=25}# #\green d : \green{(x-1)^2+(y-4)^2=16}# |
|
Stap 1 |
Werk in beide cirkelvergelijkingen de haakjes weg. |
#\blue c : \blue{x^2+y^2=25}# #\green d : \green{x^2-2x+y^2-8y=-1}# |
Stap 2 |
Elimineer #x^2+y^2# door de vergelijkingen van de cirkels van elkaar af te trekken. De ontstane vergelijking is de lijn door de snijpunten. |
#2x+8y=26# |
Stap 3 | Bereken de snijpunten van de in stap 2 gevonden lijn met één van de cirkels. |
#\rv{-3,4}# #\rv{\tfrac{77}{17}, \tfrac{36}{17}}# |
Nu we de snijpunten van twee cirkels kunnen berekenen, komen we terug op de raaklijn aan de cirkel. We hebben al gezien hoe we de raaklijn kunnen opstellen in een punt #T# op de cirkel. Nu bekijken hoe we een raaklijn aan een cirkel door een punt buiten de cirkel kunnen opstellen.
Raaklijn aan een cirkel vanaf een punt buiten de cirkel
Stappenplan |
Voorbeeld |
|
We bepalen de raaklijnen van een cirkel #\blue c# door een punt #\green P# buiten de cirkel. |
#\blue c : \blue{(x-3)^2+(y-1)^2=9}# #\green P=\green{\rv{9,1}}# |
|
Stap 1 |
Bepaal het middelpunt #M# van cirkel #\blue c#. |
#M=\rv{3,1}# |
Stap 2 |
Bepaal de lengte van #M\green P#. |
#d(M, \green P)=6# |
Stap 3 |
Noem de raakpunten #\orange A# en #\orange B#. Bepaal lengte #\orange A\green P# (en daarmee ook #\orange B \green P#). Gebruik hiervoor de stelling van Pythagoras in rechthoekige driehoek #\triangle \green P M\orange A#. |
#d(\orange A, \green P)=\sqrt{27}# |
Stap 4 |
Cirkel #d# is de cirkel met middelpunt #\green P# door #\orange A# en #\orange B#. Stel een vergelijking op van cirkel #d# met behulp van de gevonden straal uit stap 3. |
#d: (x-9)^2+(y-1)^2=27# |
Stap 5 |
Bereken de coördinaten van de punten #\orange A# en #\orange B# door de snijpunten van de cirkels #\blue c# en #d# te berekenen. |
#\orange A=\rv{\frac{9}{2}, \frac{2-3\sqrt{3}}{2}}# #\orange B=\rv{\frac{9}{2}, \frac{2+3\sqrt{3}}{2}}# |
Stap 6 |
Stel met behulp van de coördinaten van stap 5 de gevraagde raaklijnen #\green P \orange A# en #\green P \orange B# op. |
#\green P \orange A: \frac{\sqrt{3}}{3}x+1-3\sqrt{3}# #\green P \orange B: -\frac{\sqrt{3}}{3}x+1+3\sqrt{3}# |
Geef je antwoord in de vorm
- #geen# #\phantom{xxxxxvw}# als er geen snijpunt is,
- #\left\{\rv{a_1,b_1}\right\}\phantom{xxxww}# als er één snijpunt is en
- #\left\{\rv{a_1,b_1},\rv{a_2,b_2}\right\}\phantom{x}# als er twee snijpunten zijn,
Stap 1 | We werken allereerst in beide cirkelvergelijkingen de haakjes weg. Dat geeft de volgende cirkelvergelijkingen: \[c: x^2-8\cdot x+y^2-10\cdot y+41={{370}\over{9}}\] en \[d: x^2+4\cdot x+y^2-46\cdot y+533={{5770}\over{9}}\] |
Stap 2 | Nu elimineren we #x^2+y^2# door #c-d# uit te rekenen. Dat geeft: \[36\cdot y-12\cdot x-492=-600\] Dit kunnen we herleiden tot de lijn: \[y={{x}\over{3}}-3\] |
Stap 3 | We berekenen nu de snijpunten van de in stap 2 gevonden lijn en één van de cirkels. We kiezen voor cirkel #c#. We substitueren de lijn #y={{x}\over{3}}-3# in cirkel #c#. Dat geeft:\[\left(x-4\right)^2+\left({{x}\over{3}}-3-5\right)^2={{370}\over{9}}\] We werken in deze vergelijking de haakjes uit en herleiden hem op #0#. Dan krijgen we de vergelijking: \[{{10\cdot x^2}\over{9}}-{{40\cdot x}\over{3}}+{{350}\over{9}}=0\] Dit is een kwadratische vergelijking die we kunnen oplossen met de abc-formule of ontbinden in factoren. De oplossingen zijn: \[x=5 \lor x=7\] Om de bijbehorende #y#-waarden te vinden, substitueren we deze gevonden #x#-waarden in de vergelijking van de lijn. Dat geeft voor #x=5#: \[y={{5}\over{3}}-3=-{{4}\over{3}}\] Voor #x=7# geeft dat \[y={{7}\over{3}}-3=-{{2}\over{3}}\] De snijpunten zijn dus: \[\left\{\rv{5,-{{4}\over{3}}},\rv{7,-{{2}\over{3}}}\right\}\] |
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.