Meetkunde: Cirkels
Afstand tot een cirkel
We hebben al gezien hoe we de afstand tussen twee punten en hoe we de afstand tussen een punt en een lijn berekenen. Nu zullen we bekijken hoe we de afstand tussen een punt en een cirkel, tussen twee cirkels en tussen een lijn en een cirkel kunnen berekenen.
Afstand tussen een punt en een cirkel
Laat #\blue c# een cirkel zijn met middelpunt #M# en straal #\orange r# en #\green P# een punt, dan onderscheiden we drie situaties:
- #d(\green P, \blue c)=\green PM-\orange r# als #\green P# buiten cirkel #\blue c# ligt.
- #d(\green P, \blue c)=0# als #\green P# op cirkel #\blue c# ligt.
- #d(\green P, \blue c)=\orange r-\green PM# als #\green P# binnen cirkel #\blue c# ligt.
Verschuif in de figuur het punt #\green P# om te zien welke invloed het heeft als #\green P# binnen of buiten de cirkel ligt.
Ook het middelpunt van cirkel #\blue c# kan verschoven worden en de straal van de cirkel aangepast met de schuifbalk. Bekijk ook welke invloed dat heeft.
De afstand tussen twee cirkels kunnen we berekenen door gebruik te maken van de middelpunten en hun straal.
Afstand tussen twee cirkels
Laat #\blue c# een cirkel zijn met middelpunt #M# en straal #r_{\blue c}#.
Laat #\green d# een cirkel zijn met middelpunt #N# en straal #r_{\green{d}}#.
Voor de afstand tussen #\blue c# en #\green d# zijn drie mogelijke siuaties.
- #d(\blue c, \green d)=0# als cirkels #\blue c# en #\green d# elkaar raken of snijden.
- #d(\blue c, \green d)=MN-r_{\blue c}-r_{\green d}# als cirkels #\blue c# en #\green d# volledig buiten elkaar liggen.
- #d(\blue c, \green d)=r_{\blue c}-MN-r_{\green d}# als cirkel #\green d# helemaal binnen cirkel #\blue c# ligt.
Bij de laatste situatie kunnen we de rol van #\blue c# en #\green d# omdraaien als #\blue c# binnen #\green d# ligt.
Versleep in de figuur de middelpunten #M# en #N# en verander de stralen met de schuifbalk om de verschillende situaties te zien.
Tot slot kunnen we ook de afstand tussen een lijn en een cirkel berekenen.
Afstand tussen een lijn en een cirkel
Stappenplan |
Voorbeeld |
|
We berekenen de afstand tussen een lijn #\green l# en een cirkel #\blue c#. |
#\blue c: \blue{(x-4)^2+(y+3)^2=25}# #\green l: \green{y=x+4}# |
|
Stap 1 |
Bepaal middelpunt #M# en straal #\orange r# van cirkel #\blue c#. |
#M=\rv{4,-3}# #\orange r=5# |
Stap 2 |
Stel de vergelijking op van de loodlijn #m# uit het middelpunt #M# van #\blue c# op #\green l#. |
#m: y=-x+1# |
Stap 3 |
Bereken de coördinaten van het snijpunt #P# van #\green l# en #m#. |
#P=\rv{\frac{-3}{2},\frac{5}{2}}# |
Stap 4 |
We onderscheiden nu twee situaties:
|
#PM=\frac{11}{2}\sqrt{2} \gt 5# #d(\green l, \blue c)=\frac{11}{2}\sqrt{2}-5# |
Cirkel #c# heeft middelpunt #M=\rv{-2, -5}# en straal #r=5#. Daarom ligt punt #P# buiten de cirkel.
Dit betekent dat #d(P,c)=d(P,M)-r#.
We berekenen daarom #d(P,M)#. Dat gaat als volgt:
\[\begin{array}{rcl}d(P,M)&=&\sqrt{(x_P-x_M)^2+(y_P-y_M)^2} \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{formule afstand tussen twee punten}} \\
&=& \sqrt{(-10+2)^2+(-13+5)^2} \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{formule ingevuld}}\\
&=& \sqrt{128} \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{uitgerekend}} \\
\end{array}\]
Omdat de straal #r=5# en #d(P,M)=2^{{{7}\over{2}}}#, betekent dit dat #d(P,c)=2^{{{7}\over{2}}}-5#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.