Meetkunde: Lissajousfiguren
Vectoren en parametervergelijkingen
Het is nuttig om vectoren te zien als pijlen in het vlak. Je kan een vector #\blue{\vec x = \cv{ x_0 \\ y_0 }}# ook zien als het punt #\blue{\ivcc{x_0}{ y_0}}#. Met andere woorden, we vergeten dan de pijl, maar niet het eindpunt. Dit stelt ons in staat om vectoren te relateren aan parametervergelijkingen, en bijgevolg ook reëelwaardige functies.
Nauwkeuriger gezegd, een parameterkromme gegeven door vergelijkingen #\ivcc{\blue{x(t)}}{ \green{y(t)}}# kan worden gezien als een "vectorwaardige" functie dat #t# op de vector #\cv{ \blue{x(t)} \\ \green{y(t)} }# plaatst.
Een voorbeeld hiervan is de manier waarop men een lijn op het #x,y#-vlak kan omschrijven als een "steunvector" en een "richtingsvector."
Steunvector en richtingsvector bepalen een lijn.
Laat #\orange{ l }\colon { y } = { 3 x +2}# een lijn in het #x, y#-vlak zijn. De punten op deze lijn worden gegeven door #\ivcc{t}{ 3t+2}# voor #t# voor elk reëel getal. Definieer een vectorwaardige functie #F(t) = \cv{ t \\ 3t + 2 }#. We herschrijven deze functie nu met de regels van vectoroptelling en scalaire vermenigvuldiging. We krijgen
\[\begin{array}{rcl} F(t) & = & \cv{ t \\ {3t + 2 } }\\ && \phantom{xxx} \blue { \text{ het vectorwaardige functievoorschrift gekopieerd} } \\ & = & \cv{ t \\ 3t }+ \green{\cv { 0 \\ 2 }}\\ && \phantom{xxx} \blue { \text{ definitie vectoroptelling gebruikt } } \\ & = & t \cdot \blue{\cv{ 1 \\ 3 }} +\green{ \cv { 0 \\ 2 } }\\ && \phantom{xxx} \blue { \text{ definitie scalaire vermenigvuldiging gebruikt } }\end{array}\]
Als je vectoren nu ziet als punten in het vlak in plaats van pijlen in het vlak, kunnen we de lijn #l# terugkrijgen als het bereik van de #F#.
We noemen de vector #\blue{\cv{1 \\ 3 }}# de richtingsvector en de vector #\green{\cv{ 0 \\ 2 }}# de steunvector. De steunvector en richtingsvector zijn niet uniek.
Je kan een figuur van deze vectorwaardige functie in het blok "Figuur" zien.
Het vorige voorbeeld kan worden gegeneraliseerd. Het zal nu mogelijk zijn om alle begrippen te gebruiken op vectoren om parameterkrommen te bestuderen.
Laat #\orange{C}# een parameterkromme zijn gegeven door de parametervergelijkingen \[\blue{x=x(t)}\\\green{y=y(t)}\] Dan beschrijft de vectorwaardige functie \[F(t)=\cv{\blue{x(t)}\\\green{y(t)}}\] de kromme.
Hier is een figuur waar #\blue{x(t) = \cos(2t)}# en #\green{y(t) =\sin(t) + \cos(t)}#. Het punt #\orange{P_t}# is de kromme op tijdstip #t#.
Figuur
De steunvector is # \matrix{ 1 \\ 3 }#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.