Goniometrie: Hoeken met sinus, cosinus en tangens
Additieformules van sinus en cosinus
Additieformules voor sinus en cosinus
De sinus en cosinus voldoen aan de volgende regels. Hierbij zijn #\blue \alpha# en #\green \beta# willekeurige getallen.
\[\sin(\blue \alpha+\green \beta)=\sin(\blue \alpha) \cos(\green \beta)+\cos(\blue \alpha)\sin(\green \beta)\]
\[\sin(\blue \alpha-\green \beta)=\sin(\blue \alpha) \cos(\green \beta)-\cos(\blue \alpha)\sin(\green \beta)\]
\[\cos(\blue \alpha+\green \beta)=\cos(\blue \alpha) \cos(\green \beta)-\sin(\blue \alpha)\sin(\green \beta)\]
\[\cos(\blue \alpha-\green \beta)=\cos(\blue \alpha) \cos(\green \beta)+\sin(\blue \alpha)\sin(\green \beta)\]
Voorbeeld
\[\begin{array}{rcl}\sin(\frac{5 \pi}{12})&=&\sin(\blue{\frac{\pi}{6}}+\green{\frac{\pi}{4}})\\&=&\sin(\blue{\frac{\pi}{6}}) \cos(\green{\frac{\pi}{4}})+\\&&\cos(\blue{\frac{\pi}{6}})\sin(\green {\frac{\pi}{4}})\\&=&\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\\&=&\frac{1+\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} \end{array}\]
Door #\blue \alpha# en #\green \beta# gelijk te kiezen in de additieformules vinden we de zogenaamde dubbele hoekformules.
Dubbele hoekformules
Voor de sinus en cosinus gelden de volgende regels:
\[\sin(2 \blue \alpha)=2\sin(\blue \alpha)\cos(\blue \alpha)\]
\[\cos(2 \blue \alpha)=\cos^2(\blue \alpha)-\sin^2(\blue \alpha)=2 \cos^2(\blue \alpha)-1\]
Voorbeeld
\[\begin{array}{rcl}\cos(\frac{2 \pi}{3})&=&\cos(2 \cdot \blue{\frac{\pi}{3}})\\&=&2 \cos^2(\blue{\frac{\pi}{3}})-1\\&=&2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2-1=-\frac{1}{2}\end{array}\]
Als we #\dfrac{5\pi}{12}# schrijven als #\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{4}# dan kunnen we de additieformule #\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)# gebruiken met #\alpha=\dfrac{\pi}{6}# en #\beta=\dfrac{\pi}{4}#:
\[\begin{array}{rcl}
\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)&=&\cos\left(\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{4}\right)\\
&=&\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)-\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\
&=&\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\
&=&\dfrac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\tiny.
\end{array}\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.