Tot nu toe hebben we gekeken naar de sinus en cosinus in een rechthoekige driehoek. We zullen nu de sinusregel en cosinusregel behandelen, die als grote voordeel hebben dat ze in elke driehoek werken.
In een driehoek #ABC# met zijden #\blue a#, #\green b# en #\orange c# en hoeken #\blue \alpha#, #\green \beta#, #\orange \gamma# geldt:
\[\dfrac{\sin(\blue \alpha)}{\blue a} = \dfrac{\sin(\green \beta)}{\green b} =\dfrac{\sin(\orange \gamma)}{\orange c}\]
We trekken een hulplijn loodrecht op zijde #\orange c# door hoekpunt #C#.
Er geldt nu: #CD=\green{b} \cdot \sin{\blue \alpha}# (sinus in rechthoekige driehoek #ADC#)
Ook geldt: #CD=\blue{a} \cdot \sin{\green \beta}# (sinus in rechthoekige driehoek #BCD#).
Dus: #\green{b} \cdot \sin{\blue \alpha}=\blue{a} \cdot \sin{\green \beta}# en dus #\dfrac{\sin(\blue \alpha)}{\blue a} = \dfrac{\sin(\green \beta)}{\green b}#.
Op dezelfde wijze kunnen we de andere gelijkheden bewijzen door loodrechte lijnen op zijde #\blue a# en #\green b# te tekenen door respectievelijk hoekpunt #A# en #B#.
In een driehoek #ABC# met zijden #\blue a#, #\green b# en #\orange c# en hoeken #\blue \alpha#, #\green \beta#, #\orange \gamma# gelden:
\[\blue a^2 = \green b^2+\orange c^2-2\green b \orange c\cos(\blue \alpha)\]
\[\green b^2 = \blue a^2+\orange c^2-2\blue a \orange c\cos(\green \beta)\]
\[\orange c^2 = \blue a^2+\green b^2-2\blue a \green b\cos(\orange \gamma)\]
Opnieuw trekken we de hulplijn loodrecht op zijde #\orange c# door hoekpunt #C#.
Er geldt nu volgens de stelling van Pythagoras:
\[AD^2+CD^2=\green b^2\]
en
\[BD^2+CD^2=\blue a^2\]
Dus wanneer we #CD^2=\green b^2-AD^2# (de eerste gelijkheid) in de tweede gelijkheid substitueren, vinden we:
\[BD^2+\green b^2-AD^2=\blue a^2\]
Hierbij geldt #BD=\orange c-AD#. Dus dat geeft:
\[(\orange c-AD)^2+AD^2-\green b^2=\blue a^2\]
Wanneer we de haakjes wegwerken, vinden we:
\[\orange c^2+AD^2-2 \cdot\orange c \cdot AD+\green b^2-AD^2=\blue a^2\]
Dit vereenvoudigen we tot:
\[\orange c^2-2 \cdot \orange c \cdot AD+\green b^2=\blue a^2\]
Tot slot merken we op dat volgens de cosinus in een rechthoekige driehoek #AD=\green b \cdot \cos(\blue \alpha)#. Dus:
\[\orange c^2-2 \cdot \orange c \cdot \green b \cdot \cos(\blue \alpha)+\green b^2=\blue a^2\]
Hiermee is de cosinusregel voor zijde #\blue a# bewezen. Op dezelfde wijze met loodlijnen op #\blue a# en #\green b# kunnen ook de andere twee regels bewezen worden.
In bovenstaande gelijkbenige driehoek is gegeven #a=b=8# en #\gamma=120^\circ#. Wat is de exacte lengte van de basis #c# van de driehoek? Vereenvoudig wortels zo ver mogelijk.
#c=# #8\sqrt{3}#
Volgens de cosinusregel geldt #c^2=a^2+b^2-2ab\cos\left(\gamma\right)#. Invullen van de gegeven waarden #a=b=8# en #\gamma=120^\circ# levert
\[
\begin{array}{rcl}
c^2 &=& 8^2+8^2-2\cdot8\cdot8\cdot\cos\left(120^\circ\right) \\
&& \qquad \blue{ \text{ waarden ingevoerd}}\\
&=&8^2+8^2-2\cdot8\cdot8\cdot \left( - \frac{1}{2}\right) \\
&& \qquad \blue {\text{ gebruikt dat $\cos\left(120^\circ\right)=-\cos\left(60^\circ\right)=-\dfrac{1}{2}$ }} \\
&=& 192 \\
&& \qquad \blue{ \text{ uitgerekend} }
\end{array}
\]
We vinden dus dat #c=\sqrt{192}=\sqrt{64\cdot3}=\sqrt{64}\cdot\sqrt{3}=8\sqrt{3}#.