Goniometrie: Goniometrische functies
Goniometrische vergelijkingen 1
We hebben gezien dat de goniometrische functies #\sin(x)#, #\cos(x)# en #\tan(x)# op een beperkt domein een inverse functie hebben. Met behulp van deze inverse functie kunnen we vergelijkingen van de vorm #\sin(x)=c#, #\cos(x)=c# en #\tan(x)=c# oplossen. Voor beperkte waarden van #c# kunnen we dat exact, voor andere waarden doen we dat met behulp van de rekenmachine.
Goniometrische vergelijkingen oplossen
Stappenplan |
Voorbeeld |
|
We lossen een goniometrische vergelijking van de vorm #\sin(ax+b)=c#, #\cos(ax+b)=c# of #\tan(ax+b)=c# met getallen #a#, #b# en #c# op. |
#\sin(2x+\pi)=\frac{1}{\sqrt{2}}# |
|
Stap 1 |
Gebruik de inverse functie om één oplossing te bepalen van #ax+b#. Deze oplossing wordt elke periode herhaald; dit geven we aan met het optellen van #k \cdot 2 \pi#, waarbij #k# een geheel getal is. Let hierbij op de rekenmachine geeft geen exacte oplossingen. Als er wel om een exacte oplossing gevraagd wordt, moeten we gebruik maken van de tabel met speciale waarden. |
#2x+\pi=\frac{\pi}{4}+k \cdot 2\pi# |
Stap 2 |
Gebruik de grafieken van de goniometrische functies of de symmetrie van de eenheidscirkel om te bepalen of er een tweede oplossing is binnen één periode. Ook deze oplossing wordt elke periode herhaald. |
#\begin{array}{c}2x+\pi=\frac{\pi}{4}+k \cdot 2\pi \\ \lor \\ 2x+\pi=\frac{3\pi}{4}+k\cdot 2\pi\end{array}# |
Stap 3 |
Gebruik herleiding om de linkerkant van de vergelijking terug te brengen tot #x#. |
#\begin{array}{c}x=-\frac{3\pi}{8}+k \cdot \pi \\ \lor \\x=-\frac{\pi}{8}+k\cdot \pi\end{array}# |
#\begin{array}{rcl}
\sin({{\pi}\over{4}}+4\cdot x)&=&0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{de op te lossen vergelijking}}\\
{{\pi}\over{4}}+4\cdot x&=&\pi\cdot k \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{beide kanten inverse }\sin \text{ genomen}}\\
x&=&{{-\pi}\over{16}}+{{\pi\cdot k}\over{4}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{herleid}}\\
\end{array}#
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.