Exponentiële functies en logaritmen: Logaritmen
Vergelijkingen oplossen met substitutie
Eerder hebben we met behulp van substitutie ingewikkelde vergelijkingen opgelost. Ook voor logaritmes en exponentiële vergelijkingen kunnen we dit gebruiken. Als we #\log_a\!\left(x\right)^2# schrijven, bedoelen we #\left(\log_a\left(x\right)\right)^2#. We geven een stappenplan voor het oplossen van deze vergelijkingen. Bij het stappenplan van exponentiële functies moeten we aan het einde nog nagaan of de oplossingen voldoen.
Logaritmische vergelijkingen oplossen met substitutie
Stappenplan | Voorbeeld | |
We lossen een logaritmische vergelijking in onbekende #x# op met behulp van substitutie en de abc-formule. | #\log_2\!\left(x\right)^2+3\cdot\log_2\left(x\right)=4# | |
Stap 1 |
Kies een geschikte substitutie #\blue{u}=\log_\green{a}\left(x\right)#. |
#\blue{u}=\log_\green{2}\left(x\right)# |
Stap 2 |
Substitueer. |
#\blue{u}^2+3\blue{u}=4# |
Stap 3 |
Haal alles naar links zodat we de abc-formule kunnen toepassen. |
#\blue{u}^2+3\blue{u}-4=0# |
Stap 4 |
Pas de abc-formule toe. |
#\blue{u}=-4\vee\blue{u}=1# |
Stap 5 |
Los de vergelijking nu op voor #x# |
#\log_\green{2}\left(x\right)=-4# geeft #x=\frac{1}{16}# #\log_\green{2}\left(x\right)=1# geeft #x=2# |
Exponentiële vergelijkingen oplossen met substitutie.
Stappenplan | Voorbeeld | |
We lossen een exponentiële vergelijking in onbekende #x# op met substitutie en de abc-formule. | #9^x=6+3^x# | |
Stap 1 | Schrijf de machten met gelijk grondtal. | #(3^x)^2=6+3^x# |
Stap 2 |
Kies een geschikte substitutie #\blue{u}=\green{a}^x#. |
#\blue{u}=\green{3}^x# |
Stap 3 | Substitueer. |
#\blue{u}^2=6+\blue{u}# |
Stap 4 |
Haal alles naar links zodat we de abc-formule kunnen toepassen. |
#\blue{u}^2-\blue{u}-6=0# |
Stap 5 |
Pas de abc-formule toe. |
#\blue{u}=3 \vee \blue{u}=-2# |
Stap 6 |
Los de vergelijking nu op voor #x# indien mogelijk.
|
#\green{3}^x=3# geeft #x=\log_{\green{3}}\left(3\right)=1# #\green{3}^x=-2# geeft #x=\log_{\green{3}}\left(-2\right)#, geen oplossing. |
Los met behulp van substitutie de volgende vergelijking op voor #x#.
\[\log_4\left(x\right)^2-3\cdot\log_4\left(x\right)=-2\]
Schrijf:
- #geen# als er geen oplossing is,
- #x=x_1# als er één oplossing is,
- #x=x_1\lor x=x_2# als er twee oplossingen zijn,
Bij het uitwerken maken we gebruik van het stappenplan
Stap 1 | We kiezen een geschikte substutie #u=\log_4\left(x\right)#. |
Stap 2 | We substitueren, dat geeft de vergelijking \[u^2-3u=-2\] |
Stap 3 | We halen alles naar links zodat we de abc-formule kunnen toepassen \[u^2-3u+2=0\] |
Stap 4 | We passen de abc-formule toe, dit geeft ons de volgende oplossingen voor #u#. \[u=2 \vee u=1\] |
Stap 5 | We lossen de vergelijking nu op voor #x#. #\log_4\left(x\right)=2# geeft #x=16# en #\log_4\left(x\right)=1# geeft #x=4#. |
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.