De somregel

Differentiëren: De som- en productregel

De somregel

Bij het differentiëren van machtsfuncties zagen we al dat we een constante factor naar buiten konden halen. We kunnen dit in het algemeen doen bij het differentiëren van functies van de vorm $\orange{c}\cdot \blue{f}$ .

De constanteregel

Voor een constante $\orange{c}$ en een functie $\blue {f}$ geldt:

$\dfrac{\dd}{\dd x}\left(\orange{c}\cdot \blue{f(x)}\right)=\orange{c}\cdot \dfrac{\dd}{\dd x}\blue{f(x)}$

Voorbeeld

$\begin{array}{rcl} \dfrac{\dd}{\dd x}\left(\green{\orange{3}\blue{x^3}} \right)&=&\orange{3}\cdot \dfrac{\dd}{\dd x}\blue{x^3} \\ &=& \orange{3}\cdot 3x^2 \\ &=& 9x^2\end{array}$

De afgeleide van een constante keer een functie $c\cdot f(x)$ is:

$\dfrac{\dd}{\dd x}\left( c\cdot f(x)\right)= \dfrac{c\cdot f(x+h) - c\cdot f(x)}{h} = c \cdot \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}= c \cdot \dfrac{\dd}{\dd x} f(x)$

voor $h \to 0$ .

We kunnen ook de som van twee functies nemen. De somregel zegt wat de afgeleide is van de som van twee functies.

De somregel

Voor de som van twee functies $\blue{f(x)}$ en $\green{g(x)}$ geldt de somregel:

$\dfrac{\dd}{\dd x}(\blue{f(x)}+\green{g(x)}) =\dfrac{\dd}{\dd x}\blue{f(x)}+\dfrac{\dd}{\dd x}\green{g(x)}$

Voorbeeld

$\begin{array}{rcl}\dfrac{\dd}{\dd x}(\blue{x}+\green{x^2})&=&\dfrac{\dd}{\dd x}\blue{x}+\dfrac{\dd}{\dd x}\green{x^2}\\&=&1+2x\end{array}$

De afgeleide van de som van twee functies $f(x)+g(x)$ is:

$\begin{array}{rcl} \dfrac{\dd}{\dd x}(f(x)+g(x)) &=& \dfrac{f(x+h)+g(x+h)-(f(x)+g(x))}{h}\\&=&\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} + \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}\\&=&\dfrac{\dd}{\dd x}f(x)+\dfrac{\dd}{\dd x}g(x)\end{array}$

voor $h \to 0$ .

Bereken de afgeleide $f'(x)$ van de functie $f(x)=$ $\sqrt{5}\cdot x^3+5\cdot \sqrt{x}$ .

$f'(x)=$ $3\cdot \sqrt{5}\cdot x^2+{{5}\over{2\cdot \sqrt{x}}}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle f'(x)&=&\displaystyle\frac{\dd}{\dd x}\left(\sqrt{5}\cdot x^3+5\cdot \sqrt{x}\right)\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{definitie afgeleide}}\\ &=&\displaystyle\frac{\dd}{\dd x}\left(\sqrt{5}\cdot x^3\right)+\frac{\dd}{\dd x}\left(5\cdot \sqrt{x}\right)\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{somregel }\frac{\dd}{\dd x}\left(f(x)+g(x)\right)=\frac{\dd}{\dd x}f(x)+\frac{\dd}{\dd x}g(x)}\\ &=&\displaystyle \sqrt{5}\cdot\dfrac{\dd}{\dd x}\left(x^{3}\right)+5\cdot\dfrac{\dd}{\dd x}\left(x^{{{{1}\over{2}}}}\right)\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{constanteregel }\frac{\dd}{\dd x}\left(c\cdot f(x)\right)=c\cdot\frac{\dd}{\dd x}f(x)\text{ en }\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}}\\ &=&\displaystyle \sqrt{5}\cdot\left(3\cdot x^{{2}}\right)+5\cdot\left({{1}\over{2}}\cdot x^{{-{{1}\over{2}}}}\right)\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{machstregel }\frac{\dd}{\dd x}\left(x^n\right)=n\cdot x^{n-1}}\\ &=&\displaystyle\sqrt{5}\cdot\left(3\cdot x^2\right)+5\cdot\left({{1}\over{2\cdot \sqrt{x}}}\right)\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{termen met }x\text{ herschreven}}\\ &=&\displaystyle 3\cdot \sqrt{5}\cdot x^2+{{5}\over{2\cdot \sqrt{x}}}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{vereenvoudigd}}\\ \end{array}$

Nieuw voorbeeld