Differentiëren: De som- en productregel
Productregel
We kunnen twee functies #\blue{g}# en #\green{h}# met elkaar vermenigvuldigen, we krijgen dan de functie #f(x)=\blue{g(x)}\cdot\green{h(x)}#. Voor #\blue{g(x)}=\blue{x^3+1}# en #\green{h(x)}=\green{x+1}# krijgen we #f(x)=\blue{\left(x^3+1\right)}\cdot \green{\left(x+1\right)}#.
We kunnen de afgeleide van een product berekenen met de productregel.
Productregel
Voor twee functies #\blue{g}# en #\green{h}# geldt de productregel:
\[
f(x) = \blue {g(x)} \cdot \green{h(x)}\]
geeft
\[f'(x)=\orange{g'(x)} \cdot \green{h(x)} + \blue{g(x)} \cdot \purple{h'(x)}
\]
Voorbeeld
\[ f(x) = \blue{(2x^2+1)} \cdot \green{3x}\]
geeft
\[\begin{array}{rcl}f'(x)&=& \orange{4x} \cdot \green{3x} +\blue{ (2x^2+1)} \cdot\purple{3} \\
&=&18x^2+3 \end{array}\]
Om dit op te lossen kunnen we ook gebruik maken van een stappenplan.
De afgeleide van een product
Stappenplan |
Voorbeeld |
|
Bepaal de afgeleide van een functie die een product is van twee functies: #f(x)=\blue{g(x)}\cdot \green{h(x)}#. |
#\qqquad \begin{array}{rcl}f(x)\phantom{'}&=&{(2x^2+1)}\cdot 3x\end{array}# |
|
Stap 1 |
Bepaal #\blue{g(x)}# en #\green{h(x)}#. |
#\qqquad\begin{array}{rcl} |
Stap 2 |
Bepaal de afgeleiden #\orange{g'(x)}# en #\purple{h'(x)}#. |
#\qqquad\begin{array}{rcl} |
Stap 3 |
Bereken de afgeleide van #f# met de formule: \[f'(x)= \orange{g'(x)} \cdot \green{h(x)} + \blue{g(x)} \cdot \purple{h'(x)}\] |
#\qqquad\begin{array}{rcl} f'(x)&=&\orange{4x}\cdot \green{3x}+\blue{(2x^2+1)}\cdot \purple{3} \\ |
Stap 1 | We bepalen #g(y)# en #h(y)# zodat #r(y)=g(y)\cdot h(y)#. #\begin{array}{rcl} g(y)&=&y^2+y+4\\ h(y)&=&y+2\end{array}# |
Stap 2 | We berekenen de afgeleide #g'(y)# en #h'(y)#. #\begin{array}{rcl} g'(y)&=&\dfrac{\dd}{\dd y}\left(y^2+y+4\right)\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{definitie afgeleide}}\\ &=&2\cdot y+1\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{somregel, machtsregel en constanteregel}}\end{array}# #\begin{array}{rcl} h'(y)&=&\dfrac{\dd}{\dd y}\left(y+2\right)\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{definitie afgeleide}}\\ &=&1\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{somregel, machtsregel en constanteregel}}\end{array}# |
Stap 3 | We berekenen de afgeleide #r'(y)#. #\begin{array}{rcl} r'\left(y\right)&=&g'(y)\cdot h(y)+g(y)\cdot h'(y)\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{productregel}}\\ &=&\displaystyle\left(2\cdot y+1\right)\cdot\left(y+2\right)+\left(y^2+y+4\right)\cdot\left(1\right)\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{invullen van }f,f',g\text{ en }g'}\\ &=&\displaystyle 2\cdot y^2+5\cdot y+2+y^2+y+4\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{haakjes uitgewerkt}}\\ &=&\displaystyle 3\cdot y^2+6\cdot y+6\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{vereenvoudigd}} \end{array}# |
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.