Differentiëren: De afgeleide van standaardfuncties
Het grondgetal e en de natuurlijke logaritme (opnieuw bekeken)
Het getal van Euler, #e\approx 2.71828182846\ldots#, hebben we geïntroduceerd in het hoofdstuk over exponentiële functies. Dit belangrijke getal heeft een unieke eigenschap.
De afgeleide van #\orange{e}^\blue{x}# is gelijk aan zichzelf:
\[\dfrac{\dd}{\dd x}\orange{e}^\blue{x} =\orange{e}^\blue{x}\]
Voorbeeld
\[\begin{array}{rcl} \dfrac{\dd}{\dd x}(8\orange{e}^\blue{x})&=& 8\cdot \dfrac{\dd}{\dd x}\orange{e}^\blue{x}\\ &=& 8 \orange{e}^\blue{x}\end{array}\]
Zoals we gezien hebben, gebruiken we voor #\orange{e}# de rekenregels van machten.
Herinner je, het getal #e# kunnen we nemen als grondgetal van een logaritme. Dit noemen we de natuurlijke logaritme en noteren we met #\ln#.
De natuurlijke logaritme
De natuurlijke logaritme is
\[\ln(\blue{x})=\log_\orange{e}(\blue{x})\]
Voorbeeld
\[\begin{array}{rcl}\\ \ln(\orange{e}^\blue{x})&=&\blue{x}\\ \end{array}\]
Bij de natuurlijke logaritme gebruiken we dezelfde rekenregels als bij andere logaritmen. Ook het omschrijven naar andere grondtallen gaat hetzelfde bij de natuurlijke logaritme.
\[\begin{array}{rcl}
f'(x)&=&\dfrac{\dd}{\dd x} 5\cdot \e^{x}\\
&&\blue{\text{definitie afgeleide}}\\
&=&5\cdot \dfrac{\dd}{\dd x} \left( \e^x\right)\\
&&\blue{\text{constanteregel}}\\
&=&5\cdot \e^{x}\\
&&\blue{\dfrac{\dd}{\dd x}\left(\e^x\right)=\e^x}
\end{array}\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.