Differentiëren: Toepassingen van afgeleiden
Soorten stijgen en dalen
We kunnen het stijgen en dalen van functies nog verder verfijnen. Hiervoor maken we gebruik van de tweede afgeleide.
Als #f'(x)>0# en #f''(x)>0# dan is #f# #\blue{\text{toenemend stijgend}}#.
De functie #f(x)=x^3# is toenemend stijgend voor #x>0#, want \[\begin{array}{rcl}f'(x)&=&3x^2\;>\;0\\f''(x)&=&6x\;>\;0 \end{array}\]
Als #f'(x)>0# en #f''(x)<0# dan is #f# #\green{\text{afnemend stijgend}}#.
De functie #f(x)=x^3# is afnemend stijgend voor #x<0#, want \[\begin{array}{rcl}f'(x)&=&3x^2\;>\;0\\f''(x)&=&6x\;<\;0\end{array}\]
Als #f'(x)<0# en #f''(x)\lt 0# dan is #f# #\orange{\text{toenemend dalend}}#.
De functie #f(x)=-x^5# is toenemend dalend voor #x>0#, want\begin{array}{rcl}f'(x)&=&-5x^4\;<\;0\\f''(x)&=&-20x^3\;\lt\;0\end{array}
Als #f'(x)<0# en #f''(x)\gt 0# dan is #f# #\purple{\text{afnemend dalend}}#.
De functie #f(x)=-x^5# is afnemend dalend voor #x\lt 0#, want\begin{array}{rcl}f'(x)&=&-5x^4\;<\;0\\f''(x)&=&-20x^3\;\gt\;0\end{array}
Hiernaast zien we de functie \[f(x)=\sin(\frac{1}{2}\pi\cdot x)+1\] Deze functie is
- van #0# tot #1# #\green{\text{afnemend stijgend}}\ (gestreept)#
- van #1# tot #2# #\orange{\text{toenemend dalend}}\ (gestippeld)#
- van #2# tot #3# #\purple{\text{afnemend dalend}}\ (doorgetrokken)#
- van #3# tot #4# #\blue{\text{toenemend stijgend}}\ (lang\_kort\ gestreept)#
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.