Lineaire eerste-orde GDV en integrerende factor

Differentiaalvergelijkingen: Lineaire eerste-orde differentiaalvergelijkingen

Lineaire eerste-orde GDV en integrerende factor

We laten eerst zien hoe lineaire eerste-orde GDV's met constante coëfficiënten op te lossen zijn.

Oplossing van eerste-orde lineaire GDV met constante coëfficiënten

De algemene oplossing van de eerste-orde lineaire GDV

$\displaystyle\frac{\dd y}{\dd t}+p\cdot y=q\cdot t$ in de onbekende functie $y$ van $t$ , waarbij $p$ en $q$ constanten zijn met $p\ne0$ , is

$y(t)=C\cdot\e^{-p\cdot t}+\frac{q}{p}\cdot t-\frac{q}{p^2}$

Hier is $C$ de integratieconstante.

We schrijven eerst de differentiaalvergelijking in differentiaalvorm:

$\dd y+p\cdot y\,\dd t=q\cdot t\,\dd t$ Vermenigvuldigen van deze gelijkheid links en rechts met $\e^{p\cdot t}$ levert op:

$\e^{p\cdot t}\,\dd y+p\cdot\e^{p\cdot t}\cdot y\,\dd t=q\cdot t\cdot\e^{p\cdot t}\,\dd t$ Met behulp van de productregel van differentialen kan het linker lid vereenvoudigd worden:

$\dd\left(\e^{p\cdot t}\cdot y\right)=q\cdot t\cdot\e^{p\cdot t}\,\dd t$ Dus:

$\e^{p\cdot t}\cdot y=\int q\cdot t\cdot\e^{p\cdot t}\,\dd t=q\int t\cdot\e^{p\cdot t}\,\dd t$ De integraal aan de rechter kant kan door middel van partiële integratie uitgerekend worden:

$\begin{array}{rcl}\displaystyle\int t\cdot\e^{p\cdot t}\,\dd t &=&\displaystyle\int t\cdot\frac{\dd}{\dd t}\left(\frac{1}{p}\e^{p\cdot t}\right)\,\dd t\\ \\ &=&\displaystyle\frac{t}{p}\e^{p\cdot t}-\int \frac{\dd}{\dd t}(t)\cdot \left(\frac{1}{p}\cdot\e^{p\cdot t}\right)\,\dd t\\ \\ &=&\displaystyle\frac{t}{p}\e^{p\cdot t}-\frac{1}{p}\int \e^{p\cdot t}\,\dd t\\ \\ &=&\dfrac{t}{p}\cdot\e^{p\cdot t}-\dfrac{1}{p^2}\cdot\e^{p\cdot t}+C\\ \end{array}$ voor een zekere constante $C$ . We kunnen hiermee de algemene oplossing van de GDV schrijven als

$y=C\cdot\e^{-p\cdot t}+\frac{q}{p}\cdot t-\frac{q}{p^2}$

Volgens de stelling Lineaire structuur van lineaire GDV's is de oplossing gelijk aan de som van de particuliere (evenwichts)oplossing $\displaystyle y=\frac{q}{p}\cdot t-\frac{q}{p^2}$ en de algemene oplossing $y=C\cdot\e^{-p\cdot t}$ van de homogene vergelijking $\displaystyle\frac{\dd y}{\dd t}+p\cdot y=0$ . De uitdrukking achter de differentiaal in het linker lid van de vergelijking in het bewijs hangt alleen van de homogene GDV af.

Als $p=0$ , dan is de algemene oplossing de integraal $y = \int q\cdot t\,\dd t = \frac{1}{2}q\cdot t^2+C$ .

In het gegeven bewijs wordt de differentiaalvergelijking vermenigvuldigd met een functie die het mogelijk maakt om de termen met $y$ en met $\dd y$ onder één differentiaal te brengen. Daar gaan we nader op in.

Integrerende factor

In het bewijs van de stelling hebben we de GDV eerst in differentiaalvorm geschreven en vervolgens alle termen met $\e^{p\cdot t}$ vermenigvuldigd. Die factor zorgde ervoor dat we de termen met ${\dd y}$ en $y\,\dd t$ konden samenvoegen tot één differentiaal (dat wil zeggen: onder één $\dd$ ). Zo'n factor heet een integrerende factor.

In het geval van een homogene lineaire eerste-orde GDV $y'+p(t)\cdot y = 0$ is $\e^{P(t)}$ , waarbij $P(t)$ een primitieve is van $p(t)$ , een integrerende factor.

In het geval van een homogene lineaire eerste-orde GDV $y'+p(t)\cdot y = 0$ is $\e^{P(t)}$ , waarbij $P(t)$ een primitieve is van $p(t)$ , een integrerende factor: de differentiaalvorm vermenigvuldigd met deze factor is

$\e^{P(t)}\,\dd y+\e^{P(t)}\cdot y\cdot p(t)\,\dd t = 0$ wat herschreven kan worden tot

$\dd \left(\e^{P(t)}\cdot y\right) = 0$

Integratie geeft $\e^{P(t)}\cdot y = C$ , waarbij $C$ een integratieconstante is, zodat de algemene oplossing is:

$y = \e^{-P(t)}\cdot C$

De productregel voor differentialen maakt het mogelijk om een som van differentialen die de vorm $\dd y +p(t)\cdot y\,\dd t$ heeft, na vermenigvuldiging met de integrerende factor $\e^{P(t)}$ , te schrijven als de enkele differentiaal $\dd\left(\e^{P(t)}\cdot y\right)$ . Inderdaad:

$\begin{array}{rcl}\dd\left(\e^{P(t)}\cdot y\right) &=&\e^{P(t)}\,\dd y+y\,\dd\e^{P(t)}\\ &=&\e^{P(t)}\,\dd y+\frac{\dd}{\dd t} \left(\e^{P(t)}\right) \cdot y\,\dd t\\ &=&\e^{P(t)}\,\dd y+p(t) \cdot \e^{P(t)} \cdot y\,\dd t\\ &=&\e^{P(t)} \cdot\left(\dd y+p(t) \cdot y\,\dd t\right)\end{array}$

In het geval van een inhomogene lineaire eerste-orde GDV $y'+p(t)\cdot y = q(t)$ is $\e^{P(t)}$ , waarbij $P(t)$ een primitieve is van $p(t)$ , ook een integrerende factor. Als eenmaal een particuliere oplossing $y_{\text{part}}$ voor de GDV gevonden is, volgt uit de stelling Lineaire structuur van lineaire GDV's dat de algemene oplossing gelijk is aan

$y = \e^{-P(t)}\cdot C + y_{\text{part}}$

Hieronder geven we nog wat voorbeelden.

De volgende homogene lineaire eerste-orde GDV, waarbij $r$ een constante ongelijk aan $0$ is, beschrijft exponentiële groei:

$\frac{\dd y}{\dd t}=r\cdot y$
Geef de algemene oplossing van deze vergelijking.

$y = C\cdot\e^{r\cdot t}$

Eerder hebben we deze GDV opgelost door middel van scheiding van variabelen.

De stelling Oplossing van eerste-orde lineaire GDV met constante coëfficiënten geeft dat de oplossing is

$y(t)=C\cdot\e^{-p\cdot t}+\frac{q}{p}\cdot t-\frac{q}{p^2}$ waarbij $p=-r$ en $q=0$ . Dit geeft onmiddellijk het antwoord $y = C\cdot\e^{r\cdot t}$ .

Als derde mogelijke oplossingsmethode, laten we zien hoe je een integrerende factor kunt gebruiken om het antwoord af te leiden.

$\begin{array}{rcl}\dd y-r\cdot y\,\dd t&=&0\\ &&\phantom{x}\color{blue}{\text{differentiaalvorm}}\\ \e^{-r\cdot t }\dd y-\e^{-r\cdot t }\cdot r\cdot y\,\dd t&=&0\\ &&\phantom{x}\color{blue}{\text{differentiaalvorm vermenigvuldigd met integrerende factor;}}\\ &&\phantom{x}\color{blue}{\text{die factor heeft de vorm }\e^{-r\cdot t}}\\ &&\phantom{x}\color{blue}{\text{want }{-r\cdot t}\text{ is een primitieve van }-r}\\ &&\phantom{x}\color{blue}{\text{zodat het linker lid als volgt geschreven kan worden}}\\ \dd\left(\e^{-r\cdot t } \cdot y\right)&=&0\\ &&\phantom{x}\color{blue}{\text{differentiaalvorm onder één differentiaal gebracht}}\\ \e^{-r\cdot t }\cdot y&=&C\\ &&\phantom{x}\color{blue}{\text{differentiaalvorm geïntegreerd met integratieconstante }C}\\ y&=&C\cdot\e^{r\cdot t } \\ &&\phantom{x}\color{blue}{y\text{ opgelost}}\\ \end{array}$

Nieuw voorbeeld