Differentiaalvergelijkingen: Lineaire eerste-orde differentiaalvergelijkingen
Oplossen van lineaire eerste-orde GDV's
We brengen in herinnering dat de algemene lineaire eerste-orde differentiaalvergelijking de volgende vorm heeft:\[a_1(t)\cdot y'(t)+a_0(t)\cdot y(t)+b(t)=0\]Omdat de orde van de GDV gelijk is aan #1#, kan #a_1(t)# niet de constante functie # 0# zijn. Zonder al te groot verlies van algemeenheid (we zullen ons soms moeten beperken tot een kleiner domein voor de betrokken functies), kunnen we de termen van de vergelijking door #a_1(t)# delen, zodat de vergelijking de vorm #y'+p(t)\cdot y = q(t)# heeft, die we de standaardvorm zullen noemen. We laten zien hoe de oplossing van deze GDV te vinden is.
Oplossingen van lineaire eerste-orde GDV's
Stel dat #p(t)# en #q(t)# continue functies zijn en dat \(P(t)\) een primitieve is van \(p(t)\). Dan is de algemene oplossing van de GDV
\[y'+p(t)\cdot y = q(t)\] gelijk aan \[y(t)=\e^{-P(t)}\cdot(F(t)+C)\] waarbij #C# een constante is en #F(t)# een primitieve van \(\e^{P(t)}\cdot q(t)\).
De keuze van \(C\) hangt af van de beginwaarde: als \(y(t_0)=y_0\), dan geldt voor de specifieke oplossing \[C= \e^{P(t_0)}\cdot y_0 - F(t_0)\]
De functie #y_{\text{part}} = \e^{-P(t)}\cdot F(t)# is een particuliere oplossing en de functie #y_{\text{hom}} = C\cdot \e^{-P(t)}# is de algemene oplossing van de bijbehorende homogene vergelijking.
De stelling suggereert een algemene methode om de oplossing te vinden: zoek eerst een primitieve #P(t)# van #p(t)# en vervolgens een primitieve #F(t)# van \(\e^{P(t)}\cdot q(t)\). In termen van deze functies is het antwoord #y(t)=\e^{-P(t)}\cdot(F(t)+C)#, waarbij #C# een constante is.
Vaak zijn er andere methoden, zoals scheiding van variabelen als #q(t)# het product van een functie van #y# met een functie van #t# is, of het vinden van een particuliere oplossing en het oplossen van de homogene vergelijking. We geven hieronder enkele voorbeelden.
Hieronder is het richtingsveld behorend bij de GDV \[y'=t+y\] op de rechthoek \(-10\le t\le 10\land -5\le y\le 5\) geschetst.
Het is duidelijk is te zien dat de helling bij het doorlopen van elke verticale lijn van onder naar boven verandert van negatief naar positief. Door #y'=t+y=0# te stellen, zien we dat de helling #0# is in het punt #\rv{t,y}=\rv{0,0}#. Dit punt is rood getekend in het richtingsveld.
Bereken nu de specifieke oplossing door dit punt.
#y=# #\euler^{t}-t-1#
We beginnen met de GDV als gegeven in de standaardvorm #y'+p(t)\cdot y= q(t)# waarbij #p(t)=-1# en #q(t)=t#. We voeren de werkwijze van de theorie uit. (Een goed alternatief is om de homogene vergelijking op te lossen en een particuliere oplossing te vinden die een lineaire functie in #t# is.)
Eerst berekenen we de benodigde primitieven.
\[\begin{array}{rcl} \displaystyle \dfrac{\dd y}{\dd t}-y&=& \displaystyle t\\
&&\phantom{x}\color{blue}{\text{de GDV in standaardvorm}}\\
P(t) &=&\displaystyle -t\\
&&\phantom{x}\color{blue}{\text{primitieve van }p(t) =-1}\\
F(t)
&=&\displaystyle \int t\cdot \euler^ {- t }\, \dd t\\
&&\phantom{x}\color{blue}{\text{integraal van }\e^{P(t)}\cdot q(t)}\\
&=&\displaystyle \left(-t-1\right)\cdot \euler^ {- t } +C\\
&&\phantom{x}\color{blue}{\text{de primitieve berekend}}
\end{array}\]
Vervolgens gebruiken we de theorie om de algemene oplossing te formuleren:
\[\begin{array}{rcl}
y&=&\displaystyle \e^{-P(t)}\cdot \left(F(t)+C\right)\\
&&\phantom{x}\color{blue}{\text{formule van de stelling}}\\
&=&\displaystyle\e^{+t}\cdot \left(\left(-t-1\right)\cdot \euler^ {- t }+C\right)\\
&&\phantom{x}\color{blue}{P(t),\ F(t)\text{ ingevuld}}\\
&=&\displaystyle C\cdot \euler^{t}-t-1\\
&&\phantom{x}\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}
\end{array}\]
De algemene oplossing is dus #y=C\cdot \euler^{t}-t-1#. Om de specifieke oplossing te vinden door het punt #\rv{t,y} = \rv{0,0}#, vullen we de waarden van de coördinaten van dat punt in in de algemene oplossing. Dit geeft de vergelijking
\[0=C-1 \]
met als oplossing #C=1#. Substitutie van #C=1# in de algemene oplossing geeft de specifieke oplossing \(y=\euler^{t}-t-1\).
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.