Variatie van constanten

Differentiaalvergelijkingen: Oplosmethoden voor lineaire tweede-orde GDV's

Variatie van constanten

We laten zien hoe een particuliere oplossing gevonden kan worden van een lineaire differentiaalvergelijking van de tweede orde als we een tweetal lineair onafhankelijke oplossingen $y_1$ en $y_2$ van de homogene vergelijking hebben.

Bekijk de differentiaalvergelijking

$y''+p(t)\cdot y'+q(t)\cdot y=g(t)$ in de onbekende functie $y$ van $t$ , waarbij $p$ , $q$ en $g$ continue functies zijn.

Stel dat $y_1$ en $y_2$ oplossingen van de bijbehorende homogene vergelijking zijn met Wronskiaan $W$ ongelijk aan $0$ . Laat $c_1$ en $c_2$ differentieerbare functies zijn die, elk op een constante na, bepaald zijn door

$\eqs{c_1'(t) &=& -\frac{1}{W(t)}\cdot y_2(t)\cdot g(t)\cr c_2'(t) &=& \frac{1}{W(t)}\cdot y_1(t)\cdot g(t)}$

Dan is

$u(t) = c_1(t)\cdot y_1(t)+c_2(t)\cdot y_2(t)$

een particuliere oplossing van de oorspronkelijke GDV.

Laat $c_1$ en $c_2$ zijn als aangegeven. Het is eenvoudig na te gaan dat hun afgeleiden voldoen aan de vergelijking

$c_1'(t)\cdot y_1(t)+c_2'(t)\cdot y_2(t)=0$

Het feit dat $u(t)$ een particuliere oplossing is, betekent

$u''(t)+p(t)\cdot u'(t)+q(t)\cdot u(t)=g(t)$

Om deze vergelijking uit te werken in termen van $c_1(t)$ en $c_2(t)$ gebruiken we $u(t) = c_1(t)\cdot y_1(t)+c_2(t)\cdot y_2(t)$ en de bovenstaande vergelijking met $c_1'$ , $c_2'$ . Eerst berekenen we nog $u'(t)$ en $u''(t)$ :

$\begin{array}{rcl}u'(t) &=& \dfrac{\dd}{\dd t}\left(c_1(t)\cdot y_1(t)+c_2(t)\cdot y_2(t)\right)\\ &=&c_1'(t)\cdot y_1(t)+c_2'(t)\cdot y_2(t)+c_1(t)\cdot y_1'(t)+c_2(t)\cdot y_2'(t)\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{som- en product-regel voor differentiëren}}\\ &=&c_1(t)\cdot y_1'(t)+c_2(t)\cdot y_2'(t)\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{bovenstaande vergelijking met }c_1, c_2'}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}u''(t) &=& \dfrac{\dd}{\dd t}\left(c_1(t)\cdot y_1'(t)+c_2(t)\cdot y_2'(t)\right)\\ &=&c_1'(t)\cdot y_1'(t)+c_2'(t)\cdot y_2'(t)+c_1(t)\cdot y_1''(t)+c_2(t)\cdot y_2''(t)\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{som- en product-regel voor differentiëren}}\\ &=&c_1'(t)\cdot y_1'(t)+c_2'(t)\cdot y_2'(t)-c_1(t)\cdot p(t)\cdot y_1'(t)-c_1(t)\cdot q(t)\cdot y_1(t)\\&&-c_2(t)\cdot p(t)\cdot y_2'(t)-c_2(t)\cdot q(t)\cdot y_2(t)\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{y_1\text{ en } y_2\text{ zijn oplossingen van de GDV}}\\ &=&c_1'(t)\cdot y_1'(t)+c_2'(t)\cdot y_2'(t)- p(t)\cdot u'(t)-q(t)\cdot u(t)\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{definitie van }u}\end{array}$

Het linker lid van de GDV kunnen we nu herschrijven als

$u''(t)+ p(t)\cdot u'(t)+q(t)\cdot u(t)=c_1'(t)\cdot y_1'(t)+c_2'(t)\cdot y_2'(t)$

De uitspraak dat $u(t)$ een oplossing is van de inhomogene vergelijking is dus equivalent met

$c_1'(t)\cdot y_1'(t)+c_2'(t)\cdot y_2'(t)=g(t)$

Tezamen met de extra voorwaarde hebben we twee lineaire vergelijkingen in de onbekenden $c_1'(t)$ en $c_2'(t)$ :

$\eqs{c_1'(t)\cdot y_1(t)+c_2'(t)\cdot y_2(t)&=&0\cr c_1'(t)\cdot y_1'(t)+c_2'(t)\cdot y_2'(t)&=&g(t)\cr}$

De in de stelling gegeven waarden voor $c_1'(t)$ en $c_2'(t)$ zijn de unieke oplossing van dit stel lineaire vergelijkingen (dit volgt uit Lineaire algebra omdat de Wronskiaan van $y_1$ en $y_2$ ongelijk is aan $0$ ).

Kenners van lineaire algebra kunnen het tweetal lineaire vergelijkingen

$\eqs{c_1'(t)\cdot y_1(t)+c_2'(t)\cdot y_2(t)&=&0\cr c_1'(t)\cdot y_1'(t)+c_2'(t)\cdot y_2'(t)&=&g(t)\cr}$ in matrixvorm schrijven en de oplossing vinden door gebruik te maken van het feit dat de matrix $\begin{pmatrix}y_1(t)&y_2(t)\\ y_1'(t)&y_2'(t) \end{pmatrix}$ inverse $\frac{1}{W(t)}\begin{pmatrix}y_2'(t)&-y_2(t)\\ -y_1'(t)&y_1(t) \end{pmatrix}$ heeft.

Bovenstaande methode heet wel variatie van constanten.

De naam variatie van constanten geeft aan dat we constanten $c_1$ en $c_2$ van de oplossing $c_1\cdot y_1+c_2\cdot y_2$ van de homogene vergelijking vervangen door functies van $t$ om een particuliere oplossing te vinden.

Bovenstaande methode om een particuliere oplossing te vinden als de homogene oplossingen bekend zijn, werkt altijd, maar is omslachtig. Eerder hebben we de Ansatz-methode besproken om sneller tot een particuliere oplossing te komen. Ook hier is het in enkele veelvoorkomende gevallen mogelijk de aard van de functies $c_1$ en $c_2$ te raden. We geven hieronder enkele voorbeelden.

Welke oplossing krijg je door de variatie van constanten toe te passen voor de lineaire tweede-orde GDV

$y''+p\cdot y'+q\cdot y= g$
met constante coëfficiënten $p$ , $q$ en $g$ , waarbij $q\ne0$ ?

$y=\frac{g}{q}$

We volgen de variatie van constanten-methode om de gevraagde oplossing te vinden. Deze oplossing heeft de vorm

$c_1(t)\cdot y_1(t)+c_2(t)\cdot y_2(t)$

waarbij $c_1$ en $c_2$ elk op een constante na bepaald zijn door

$\eqs{c_1'(t) &=& -\frac{1}{W(t)}\cdot y_2(t)\cdot g\cr c_2'(t) &=& \frac{1}{W(t)}\cdot y_1(t)\cdot g}$
waarbij $W$ de Wronskiaan is.

Neem nu het geval waarin $D\gt0$ . Dan heeft de karakteristieke vergelijking twee oplossingen, zeg $\lambda_1$ en $\lambda_2$ . Deze voldoen aan $\lambda_1+\lambda_2=-p$ en $\lambda_1\cdot \lambda_2=q$ . We kunnen nu als basisoplossingen van de homogene vergelijking nemen: $y_1(t)=\e^{\lambda_1\cdot t}$ en $y_2(t)=\e^{\lambda_2\cdot t}$ . De Wronskiaan van dit paar differentieerbare functies is

$W(t)= (\lambda_2-\lambda_1)\cdot \e^{(\lambda_1+\lambda_2)\cdot t}= (\lambda_2-\lambda_1)\cdot \e^{-p\cdot t}$

Nu kunnen we de particuliere oplossing berekenen:

$\begin{array}{rcl} c_1'(t) &=&-\dfrac{1}{W(t)}\cdot y_2(t)\cdot g(t)\\ &=&-\dfrac{1}{\lambda_2-\lambda_1}\cdot\e^{p\cdot t}\cdot \e^{\lambda_2\cdot t}\cdot g\\ &&\phantom{x}\color{blue}{W(t) = (\lambda_2-\lambda_1)\cdot \e^{-p\cdot t}}\\ &=&-\dfrac{g}{\lambda_2-\lambda_1}\cdot\e^{-\lambda_1\cdot t}\\ &&\phantom{x}\color{blue}{\lambda_1+\lambda_2=-p}\\ &\text{en,}&\text{ evenzo, }\\ c_2'(t)&=&\dfrac{1}{W(t)}\cdot y_1(t)\cdot g(t)\\&=&\dfrac{1}{\lambda_2-\lambda_1}\cdot\e^{p\cdot t}\cdot \e^{\lambda_1\cdot t}\cdot g\\&=&\dfrac{g}{\lambda_2-\lambda_1}\cdot\e^{-\lambda_2\cdot t}\end{array}$
Integreren levert, omdat $g$ een constante is,

$\begin{array}{rcl}c_1(t)&=&\displaystyle-\frac{g}{\lambda_2-\lambda_1}\cdot\int \e^{-\lambda_1\cdot t}\,\dd t=\frac{g}{\lambda_1\cdot(\lambda_2-\lambda_1)}\cdot\e^{-\lambda_1\cdot t}\\ &\text{en}&\\ c_2(t)&=&\displaystyle\frac{g}{\lambda_2-\lambda_1}\cdot\int \e^{-\lambda_2\cdot t}\,\dd t=\frac{g}{-\lambda_2\cdot(\lambda_2-\lambda_1)}\cdot\e^{-\lambda_2\cdot t}\end{array}$
De conclusie is

$\begin{array}{rcl}y(t)&=&c_1(t)\cdot y_1(t)+c_2(t)\cdot y_2(t)\\ &=&\displaystyle \frac{g}{\lambda_1\cdot(\lambda_2-\lambda_1)}\cdot\e^{-\lambda_1\cdot t}\cdot\e^{\lambda_1\cdot t} +\frac{g}{-\lambda_2\cdot(\lambda_2-\lambda_1)}\cdot\e^{-\lambda_2\cdot t} \cdot\e^{\lambda_2\cdot t} \\ &=&\dfrac{g}{\lambda_2-\lambda_1}\cdot \left(\dfrac{1}{\lambda_1} -\dfrac{1}{\lambda_2}\right) \\ &=&\dfrac{g}{\lambda_2-\lambda_1}\cdot \dfrac{\lambda_2-\lambda_1}{\lambda_1\cdot\lambda_2} \\ &=&\dfrac{g}{q}\\ &&\phantom{x}\color{blue}{\lambda_1\cdot \lambda_2=q} \end{array}$
De verificatie voor de andere twee gevallen ( $D=0$ en $D\lt0$ ) gaat net zo.

Deze oplossing kan ook gevonden worden met het eerste voorbeeld van de Ansatz-methode voor lineaire tweede-orde GDV's.

Nieuw voorbeeld