Differentiaalvergelijkingen: Oplosmethoden voor lineaire tweede-orde GDV's
Oplossen van lineaire tweede-orde GDV's
Hier zetten we op een rij wat we geleerd hebben over het oplossen van een lineaire tweede-orde differentiaalvergelijking.
Oplosmethode voor een lineaire tweede-orde GDV
De algemene oplossing van de lineaire tweede-orde differentiaalvergelijking\[\frac{\dd^2 y}{\dd t^2}+p(t)\cdot \frac{\dd y}{\dd t}+q(t)\cdot y=g(t)\]
waarbij #p(t)#, #q(t)#, #g(t)# continue functies zijn, is vaak te vinden met behulp onderstaande drie stappen.
Uitgangspunt is hierbij de stelling Lineaire structuur van lineaire GDV's. Deze brengt het vinden van de algemene oplossing terug tot het vinden van twee lineair onafhankelijke oplossingen #y_1#, #y_2# van de homogene vergelijking \( y''+p(x)\cdot y'+q(x)\cdot y=0\) en één (particuliere) oplossing #y_{\text{part}}# van de oorspronkelijke vergelijking. Dan is namelijk de algemene oplossing \[y=y_{\text{part}}+A\cdot y_1+B\cdot y_2\] waarbij #A# en #B# integratieconstanten zijn.
- Vind een homogene oplossing #y_1#. Als de coëfficiënten #p(t)# en #q(t)# constanten zijn, dan werkt de methode van de stelling Algemene oplossing van een homogene lineaire tweede-orde GDV met constante coëfficiënten. Anders is er geen garantie, maar kunnen we een geschikte Ansatz proberen.
- Vind een tweede homogene oplossing #y_2#. Als de coëfficiënten #p(t)# en #q(t)# constanten zijn, dan geeft de methode van de stelling Algemene oplossing van een homogene lineaire tweede-orde GDV met constante coëfficiënten een oplossing #y_2# die lineair onafhankelijk is van #y_1#. Anders kunnen we de Orde-reductie van een lineaire tweede-orde GDV bij een gegeven oplossing gebruiken, waarbij we voor variatie van constanten dan wel de Wronskiaan kunnen kiezen.
- Vind een particuliere oplossing #y_{\text{part}}#. Als twee lineair onafhankelijke homogene oplossingen #y_1# en #y_2# bekend zijn, dan geeft Variatie van constanten altijd een oplossing via reductie tot lineaire eerste-orde vergelijkingen. Maar deze methode is omslachtig. Een geschikte Ansatz kan soms een sneller resultaat geven.
Er zijn meer speciale gevallen. Als bijvoorbeeld de variabele #y# zelf niet voorkomt, is de GDV op te vatten als een lineaire vergelijking van eerste orde in #y'#.
De oplossing wordt bepaald in vier stappen.
Stap 1: Bepaal een oplossing #y_1# ongelijk aan #0# van de bijbehorende homogene differentiaalvergelijking.
Stap 2: Bepaal een tweede, van #y_1# lineair onafhankelijke, oplossing #y_2# van de homogene differentiaalvergelijking.
Stap 3: Bepaal een particuliere oplossing #y_{\text{part}}# van de differentiaalvergelijking.
Stap 4: Schrijf de algemene oplossing als #y(t)=A \cdot y_1+B \cdot y_2 +y_{\text{part}} #.
Stap 1 De bijbehorende homogene differentiaalvergelijking is:
\[ t^2\cdot {\it \frac{\dd^2}{\dd x^2} y}-5\cdot t\cdot {\it \frac{\dd }{\dd x} }+8\cdot y =0 \]
We nemen als Ansatz:
\[y_1(t)=a\cdot t^3+b\cdot t^2+c\cdot t+d\]
Hierbij geldt: \[y'(t)=3\cdot a\cdot t^2+2\cdot b\cdot t+c \quad \text{ en }\quad y''(t)=6\cdot a\cdot t+2\cdot b \]
Dit substitueren we in de homogene differentiaalvergelijkingen, dan vinden we:
\[-a\cdot t^3+3\cdot c\cdot t+8\cdot d\]
Wanneer we de coëfficiënten aan de linker kant en de rechter kant van de vergelijking vergelijken, vinden we:
\[ a=0 ,\ c=0 ,\ d=0 \] Als we de constante(n) # b # gelijk aan #1# kiezen, dan vinden we als oplossing #y_1#: \[y_1(t)=t^2\]
Stap 2 We schrijven nu de bijbehorende homogene differentiaalvergelijking eerst in standaardvorm:
\[\frac{\dd^2 }{\dd^2 t} y-{{5}\over{t}} \cdot \frac{\dd }{\dd t} y + {{8}\over{t^2}} \cdot y=0\]
Volgens Tweede oplossing van een homogene lineaire tweede-orde GDV kunnen we een tweede, van #y_1# lineair onafhankelijke, oplossing vinden van de vorm #y_2(t) = c(t) \cdot y_1(t)# met
\[\begin{array}{rcl}
c(t) &=& \displaystyle \int \frac{\e^{ -P(t)} }{y_1(t)^2} \dd t\\
\end{array}\]
waarbij #P(t)# een primitieve van #p(t)= -{{5}\over{t}}# is. Aldus vinden we #P(t)=-5\cdot \ln \left(t\right)#. Invullen van
\[
\e^{-P(t)}=t^5 \qquad \text{ en } \qquad y_1(t)=t^2
\]
in het functievoorschrift van #c# levert
\[\begin{array}{rcl}
c(t) &=&\displaystyle \int \frac{t^5}{\left(t^2\right)^2} \dd t \\
&=&\displaystyle \int t \, \dd t \\
&=&\displaystyle {{t^2}\over{2}} \\
\end{array}\]
Bijgevolg is \(y_2(t)=y_1(t)\cdot c(t)={{t^4}\over{2}}\). Omdat veelvouden met constanten ongelijk aan #0# ook van #y_1# lineaire onafhankelijke oplossingen geven, vereenvoudigen we de oplossing tot #y_2 = t^4#.
Stap 3 Ook de particuliere oplossing bepalen we in dit geval met een Ansatz. We kiezen als Ansatz: \[y_{\text{part}} =e\cdot t^3+f\cdot t^2+g\cdot t+h\]Voor de afgeleiden hiervan geldt: \[y'(t)=3\cdot e\cdot t^2+2\cdot f\cdot t+g\quad \text{ en } \quad y''(t)=6\cdot e\cdot t+2\cdot f \]
Deze functievoorschriften substitueren we in de differentiaalvergelijking. Dan vinden we:
\[\left(-e-2\right)\cdot t^3+3\cdot g\cdot t+8\cdot h=0\]
Wanneer we de coëfficiënten aan de linker kant en de rechter kant van de vergelijking vergelijken, vinden we:
\[ e=-2 , g=0 , h=0 \] Als we \( f \) gelijk aan #0# kiezen, vinden we de particuliere oplossing: \[y_{\text{part}} (t)=-2\cdot t^3\]
Stap 4 We concluderen dat de algemene oplossing is: \[y(t)=A \cdot t^2 + B \cdot t^4 -2\cdot t^3\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.