Verwachtingswaarde van een kansvariabele

Hoofdstuk 4: Kansverdelingen: Kansvariabelen

Verwachtingswaarde van een kansvariabele

De kansverdeling van een kansvariabele heeft twee belangrijke eigenschappen:

De verwachtingswaarde
De variantie of standaardafwijking

Verwachtingswaarde

Definitie

De verwachtingswaarde of het gemiddelde van een kansvariabele $X$ is het centrum van de kansverdeling.

Als we $X$ een zeer groot aantal keren observeren, dan is het erg waarschijnlijk dat het steekproefgemiddelde van die waarnemingen dicht in de buurt van de verwachte waarde ligt.

Notatie

$\mathbb{E}[X]$

Alternatieven: $\mu$ of $\mu_X$

Laat $X$ een discrete kansvariabele zijn met kansverdeling $f(x)$ en bereik $R(X)$ .

In dat geval wordt de verwachtingswaarde van $X$ als volgt berekend:

$\mathbb{E}[X]=\sum_{\text{alle }x\text{ in }R(X)}x\cdot f(x)$

Waarbij $f(x)=\mathbb{P}(X=x)$ .

Stel je een kansexperiment voor waarbij we één keer een dobbelsteen gooien. Laat $X$ het aantal gegooide ogen zijn.

Bereken de verwachtingswaarde van $X$ .

De kansverdeling van $X$ is:
$\begin{array}{c|cccccc} x&1&2&3&4&5&6\\ \hline \mathbb{P}(X = x)&\cfrac{1}{6}&\cfrac{1}{6}&\cfrac{1}{6}&\cfrac{1}{6}&\cfrac{1}{6}&\cfrac{1}{6}\\ \end{array}$
De verwachtingswaarde van $X$ wordt dus als volgt berekend:
$\begin{array}{rcl} \mathbb{E}[X]&=&\sum\limits_{\text{all }x\text{ in }R(X)}x\cdot f(x)\\\\ &=&1\cdot \mathbb{P}(X=1)+2\cdot \mathbb{P}(X=2) +\ldots+ 6 \cdot \mathbb{P}(X=6)\\\\ &=&1\cdot \cfrac{1}{6}+2\cdot \cfrac{1}{6}+3\cdot \cfrac{1}{6}+4\cdot \cfrac{1}{6}+5\cdot \cfrac{1}{6}+6\cdot \cfrac{1}{6}\\\\ &=& 3.5\\ \end{array}$

Nieuw voorbeeld

$\phantom{0}$

Verwachtingswaarde van een continue kansvariabele
De verwachtingswaarde van een continue kansvariabele wordt berekend met behulp van integraalrekening. Dit wordt niet in deze cursus behandeld.