De binomiale kansverdeling

Hoofdstuk 4: Kansverdelingen: Veelvoorkomende kansverdelingen

De binomiale kansverdeling

Binomiaal experiment
In een binomiaal experiment geldt het volgende.

We voeren $n$ onafhankelijke Bernoulli proeven uit.
De kans op succes $p$ is hetzelfde voor elke proef.
De variabele waarin we geïnteresseerd zijn, $X$ , is het totale aantal waargenomen successen.

Laat $X$ het aantal successen zijn onder $n$ proeven in een binominaal experiment, dan is $X$ een binominale kansvariabele met bereik:

$R(X)=\{0,1,\ldots,n\}$

We zeggen dat $X$ binomiaal verdeeld is met parameters $n$ en $p$ en schrijven dit als:

$X \sim B(n,p)$

GeoGebra

Stel dat we een munt $12$ keer opgooien en een succes definiëren als kop gooien.

Laat $X$ het aantal successen zijn onder de $12$ proeven.

Dan is $X$ binomiaal verdeeld met $n=12$ en $p=\mathbb{P}(\textit{Kop}) = 0.5$ :

$X\sim B(12,0.5)$

Stel dat $21\%$ van de mensen in een grote populatie roker is. Kies willekeurig $100$ mensen en vraag hen: "Bent u een roker"? Definieer een persoon die "Ja" antwoordt als een succes.

Laat $Y$ het aantal successen zijn onder de $100$ waarnemingen.

Dan is $Y$ binomiaal verdeeld met $n=100$ en $p=0.21$ :

$Y\sim B(100, 0.21)$

$\phantom{0}$

Laat $X$ een binominale kansvariabele zijn met parameters $n$ en $p$ .

Gebruik de volgende functie om $\mathbb{P}(X=x)$ in Excel te berekenen:

BINOM.DIST(x, n, p, cumulative)

x : Het aantal successen.

n : Het aantal proeven.

p : De kans op succes voor elke proef.

cumulative : Een logische waarde die bepaalt welke vorm de kansverdeling krijgt.

TRUE - gebruikt de cumulatieve verdeling (maximaal x successen), $\mathbb{P}(X \leq x)$

FALSE - gebruikt de kansfunctie (precies x successen), $\mathbb{P}(X = x)$

Gebruik de volgende functie om $\mathbb{P}(X=x)$ in R te berekenen:

dbinom(x, size, prob)

x : Het aantal successen.

size : Het aantal proeven.

prob : De kans op succes voor elke proef.

Stel dat $X$ binominaal verdeeld is met $n=11$ en $p=0.6$ .

Bereken $\mathbb{P}(X = 6)$ . Rond je antwoord af op $3$ decimalen.

$\mathbb{P}(X = 6)=0.221$

Er zijn een aantal verschillende manieren waarop we $\mathbb{P}(X = 6)$ kunnen berekenen. Klik op één van de panelen om een specifieke oplossing the bekijken.

Berekening in Excel

Gebruik de volgende functie om $\mathbb{P}(X = 6)$ in Excel te berekenen:

BINOM.DIST(x, n, p, cumulative)

x: Het aantal successen.

n: Het aantal proeven.

p: De kans op succes voor elke proef.

cumulative: Een logische waarde die bepaalt welke vorm de kansverdeling krijgt.

TRUE - gebruikt de cumulatieve verdeling (maximaal x successen), $\mathbb{P}(X \leq x)$

FALSE - gebruikt de kansfunctie (precies x successen), $\mathbb{P}(X = x)$

Om $\mathbb{P}(X = 6)$ te berekenen voeren we dus de volgende opdracht uit:

$= \text{BINOM.DIST}(6, 11, 0.6, \text{FALSE})$
Dit geeft:

$\mathbb{P}(X = 6) = 0.221$

Berekening in R

Gebruik de volgende functie om $\mathbb{P}(X = 6)$ in R te berekenen:

dbinom(x, size, prob)

x: Het aantal successen.

size: Het aantal proeven.

prob: De kans op succes voor elke proef.

Om $\mathbb{P}(X = 6)$ te berekenen voeren we dus de volgende opdracht uit:

$\text{dbinom}(x = 6, size = 11, prob = 0.6)$
Dit geeft:

$\mathbb{P}(X = 6) = 0.221$

Nieuw voorbeeld

$\phantom{0}$

Laat $X$ een binominale kansvariabele zijn met parameters $n$ en $p$ .

Gebruik de volgende functie om cumulatieve kansen voor een binominale verdeling in Excel te berekenen:

BINOM.DIST(x, n, p, cumulative)

x : Het aantal successen.

n : Het aantal proeven.

p : De kans op succes voor elke proef.

cumulative : Een logische waarde die bepaalt welke vorm de kansverdeling krijgt.

TRUE - gebruikt de cumulatieve verdeling (maximaal x successen), $\mathbb{P}(X \leq x)$

FALSE - gebruikt de kansfunctie (precies x successen), $\mathbb{P}(X = x)$

Gebruik de volgende functie om cumulatieve kansen voor een binominale verdeling in R te berekenen:

pbinom(x, size, prob)

x : Het aantal successen.

size : Het aantal proeven.

prob : De kans op succes voor elke proef.

Cumulatieve eigenschappen van discrete distributies
Omdat de binominale verdeling discreet is, gelden de volgende eigenschappen met betrekking tot de cumulatieve kansen:

$\mathbb{P}(X \leq x) = \mathbb{P}(X=0) +\mathbb{P}(X=1) + \ldots + \mathbb{P}(X=x)$
$\mathbb{P}(X \lt x) = \mathbb{P}(X \leq x-1)$
$\mathbb{P}(X \gt x) = 1 - \mathbb{P}(X \leq x)$
$\mathbb{P}(X \geq x) = 1 - \mathbb{P}(X \leq x-1)$

Bovendien geldt voor alle $2$ waarden $a$ en $b$ in het bereik van $X$ (met $a<b$ ):

$\mathbb{P}(a \leq X \leq b) = \mathbb{P}(X \leq b) - \mathbb{P}(X \leq a - 1)$
$\mathbb{P}(a \leq X \lt b) = \mathbb{P}(X \leq b - 1) - \mathbb{P}(X \leq a - 1)$
$\mathbb{P}(a \lt X \leq b) = \mathbb{P}(X \leq b) - \mathbb{P}(X \leq a)$
$\mathbb{P}(a \lt X \lt b) = \mathbb{P}(X \leq b - 1) - \mathbb{P}(X \leq a)$

Stel dat $X$ binomiaal verdeeld is met $n=11$ en $p=0.6$ .

Bereken $\mathbb{P}(X \leq 7)$ . Rond je antwoord af op $3$ decimalen.

$\mathbb{P}(X \leq 7)=0.704$

Er zijn een aantal verschillende manieren waarop we $\mathbb{P}(X \leq 7)$ kunnen berekenen. Klik op één van de panelen om een specifieke oplossing the bekijken.

Berekening in Excel

Gebruik de volgende functie om $\mathbb{P}(X \leq 7)$ in Excel te berekenen:

BINOM.DIST(x, n, p, cumulative)

x: Het aantal successen.

n: Het aantal proeven.

p: De kans op succes voor elke proef.

cumulative: Een logische waarde die bepaalt welke vorm de kansverdeling krijgt.

TRUE - gebruikt de cumulatieve verdeling (maximaal x successen), $\mathbb{P}(X \leq x)$

FALSE - gebruikt de kansfunctie (precies x successen), $\mathbb{P}(X = x)$

Om $\mathbb{P}(X \leq 7)$ te berekenen voeren we dus de volgende opdracht uit:

$= \text{BINOM.DIST}(7, 11, 0.6, \text{TRUE})$
Dit geeft:

$\mathbb{P}(X \leq 7) = 0.704$

Berekening in R

Gebruik de volgende functie om $\mathbb{P}(X \leq 7)$ in R te berekenen:

pbinom(q, size, prob)

q: Het aantal successen.

size: Het aantal proeven.

prob: De kans op succes voor elke proef.

Om $\mathbb{P}(X \leq 7)$ te berekenen voeren we dus de volgende opdracht uit:

$\text{pbinom}(q = 7, size = 11, prob = 0.6)$
Dit geeft:

$\mathbb{P}(X \leq 7) = 0.704$

Nieuw voorbeeld

$\text{}$

Laat $X$ een binomiaal verdeelde kansvariabele zijn met parameters $n$ en $p$ .

De verwachtingswaarde van $X$ wordt berekend met de volgende formule:

$\mu = n\cdot p$

De variantie van $X$ wordt berekend met de volgende formule:

$\sigma^2 = n\cdot p \cdot (1-p)$

En de standaardafwijking van $X$ wordt berekend met de volgende formule:

$\sigma = \sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)}$

Laat $X$ een binomiaal verdeelde kansvariabele zijn met parameters $n=10$ en $p=0.35$ .

Bereken de verwachtingswaarde van $X$ . Rond je antwoord af op $2$ decimalen.

$\mu=3.50$

De verwachtingswaarde van een binominale kansvariabele $X\sim B(n,p)$ wordt als volgt berekend:

$\begin{array}{rcl} \mu&=&n \cdot p \\\\ &=& 10 \cdot 0.35 \\\\ &=& 3.50 \end{array}$

Nieuw voorbeeld