Hoofdstuk 7: Hypothese toetsen: Introductie in Hypothese toetsen (p-waarde benadering)
Het berekenen van de Toetsingsgrootheid
Zodra de hypotheses van de test zijn geformuleerd en het significantieniveau van de test vastgesteld is, is het tijd om de steekproefgegevens te verzamelen en de toetsingsgrootheid te berekenen.
#\phantom{0}#
Toetsingsgrootheid
Een toetsingsgrootheid is een enkele numerieke waarde die het verschil tussen de waargenomen steekproefgegevens en de te verwachten waarneming, als de nulhypothese waar is, aangeeft.
In het algemeen zijn grotere toetsingsgrootheden indicatief voor sterker bewijs tegen de nulhypothese die wordt getest.
#\phantom{0}#
De toetsingsgrootheid die wordt gebruikt in een #Z#-toets is de #Z#-score.
#\phantom{0}#
Z-score
De #\boldsymbol{Z}#-score voor een #Z#-toets voor een populatiegemiddelde #\mu# wordt verkregen door het transformeren van het steekproefgemiddelde #\bar{X}# in een #Z#-score:
\[Z=\cfrac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma_{\bar{X}}} =\cfrac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\]
Indien de populatie waaruit de steekproef is getrokken normaal verdeeld is, wordt de steekproefverdeling van de #Z#-score de standaard normale verdeling genoemd. Dat is #Z\sim N(0,1)#.
Als de bevolking niet normaal verdeeld is, maar de steekproefgrootte groot is ( #n>30# ), stelt de centrale limietstelling ons in staat om door te gaan alsof #Z\sim N(0,1)#.
Een kleine letter #z# wordt gebruikt om de gemeten waarde te geven van #Z# nadat de gegevens zijn verzameld. De waarde van #z# wordt gebruikt om de kracht van het bewijs tegen de nulhypothese te beoordelen.
Als het verschil tussen het waargenomen steekproefgemiddelde #\bar{X}# en het veronderstelde populatiegemiddelde #\mu_0# toeneemt, is de waarde van #z# groter en het bewijs tegen de nulhypothese sterker.
Overweeg een normaal verdeelde populatie met onbekend gemiddelde #\mu# en standaardafwijking #\sigma = 4.7#.
Stel dat een onderzoeker de volgende onderzoekshypothesen heeft geformuleerd over het bevolkingsgemiddelde #\mu# :
- #H_0:\mu=20#
- #H_a:\mu \neq 20#
Bereken de #Z#-score voor deze steekproef. Rond je antwoord af naar #3# decimalen.
De #Z#-score wordt berekend met de volgende formule:
\[z = \cfrac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} =\cfrac{22.5-20}{0.513} = 4.875\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.