Onafhankelijke t-toets: Toetsingsgrootheid en p-waarde

Hoofdstuk 8: Toetsen voor verschillen in gemiddelden en proporties: T-Toets voor twee onafhankelijke steekproeven

Onafhankelijke t-toets: Toetsingsgrootheid en p-waarde

Onafhankelijke t-toets: Toetsingsgrootheid

De toetsingsgrootheid van een onafhankelijke $t$ -toets wordt aangeduid als $t$ , en wordt berekend met de volgende formule:
$t=\cfrac{(\bar{X}_1-\bar{X}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{s_{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2)}} = \cfrac{\bar{X}_1-\bar{X}_2 }{\sqrt{\cfrac{s^2_1}{n_1}+\cfrac{s^2_2}{n_2}}}$

waarbij $s_{(\bar{X_1} - \bar{X_2})}$ de geschatte standaardfout van het gemiddelde verschil is.

Onder de nulhypothese van een onafhankelijke $t$ -toets, volgt de $t$ -statistiek de $t_{df}$ -verdeling, maar de exacte vrijheidsgraden $df$ worden bepaald door een ingewikkelde formule.

We zullen een eenvoudigere, meer conservatieve waarde gebruiken: $df$ is de kleinste van $n_1-1$ en $n_2-1$ .
$df=min(n_1-1, n_2-1)$

De p-waarde van een onafhankelijke t-toets berekenen met statistische software

Hoe je de $p$ -waarde van een onafhankelijke $t$ -toets berekent, is afhankelijk van de richting van de toets. De berekening kan worden uitgevoerd met behulp van Excel of R.

Gebruik een van de volgende commands om de $p$ -waarde van een onafhankelijke $t$ -toets voor $\mu_1-\mu_2$ in Excel te berekenen:
$\begin{array}{llll} \phantom{0}\text{Richting}&\phantom{000000}H_0&\phantom{000000}H_a&\phantom{0000000}\text{Excel Command}\\ \hline \text{Tweezijdig}&H_0:\mu_1 - \mu_2 = 0&H_a:\mu_1 - \mu_2 \neq 0&=2 \text{ * }(1 \text{ - } \text{T.DIST}(\text{ABS}(t),df,1))\\ \text{Linkszijdig}&H_0:\mu_1 - \mu_2 \geq 0&H_a:\mu_1 - \mu_2 \lt 0&=\text{T.DIST}(t,df,1)\\ \text{Rechtszijdig}&H_0:\mu_1 - \mu_2 \leq 0&H_a:\mu_1 - \mu_2 \gt 0&=1\text{ - }\text{T.DIST}(t,df,1)\\ \end{array}$

Waar $df=\text{MIN}(n_1\text{ - }1, n_2\text{ - }1)$ .

Gebruik een van de volgende commands om de $p$ -waarde van een onafhankelijke $t$ -toets voor $\mu_1 - \mu_2$ in R te berekenen:
$\begin{array}{llll} \phantom{0}\text{Ricchting}&\phantom{000000}H_0&\phantom{000000}H_a&\phantom{00000000000}\text{R Command}\\ \hline \text{Tweezijdig}&H_0:\mu_1 - \mu_2 = 0&H_a:\mu_1 - \mu_2 \neq 0&2 \text{ * }\text{pt}(\text{abs}(t),df,lower.tail=\text{FALSE})\\ \text{Linkszijdig}&H_0:\mu_1 - \mu_2 \geq 0&H_a:\mu_1 - \mu_2 \lt 0&\text{pt}(t,df, lower.tail=\text{TRUE})\\ \text{Rechtszijdig}&H_0:\mu_1 - \mu_2 \leq 0&H_a:\mu_1 - \mu_2 \gt 0&\text{pt}(t,df, lower.tail=\text{FALSE})\\ \end{array}$

Waar $df=\text{min}(n_1\text{ - }1, n_2\text{ - }1)$ .

Als $p \leq \alpha$ , verwerp $H_0$ en concludeer $H_a$ . Verwerp $H_0$ anders niet.

Een psycholoog wil het effect van mentale inspanning op het terugroepen van herinneringen onderzoeken. Om deze kwestie te onderzoeken, worden twee versies van dezelfde tekst voorbereid: één gedrukt in een groot en gemakkelijk leesbaar lettertype en de andere in een klein en moeilijk leesbaar lettertype.

Er worden in totaal $78$ proefpersonen geworven. Ongeveer de helft van de proefpersonen krijgt de makkelijk leesbare tekst $(X_1)$ en de andere helft krijgt de moeilijk leesbare tekst $(X_2)$ . Beide groepen krijgen $20$ minuten de tijd om de tekst te bestuderen, waarna wordt getest hoe goed ze onthouden wat ze hebben gelezen.

De psycholoog is van plan een onafhankelijke $t$ -toets te gebruiken om te bepalen of er een significant verschil is in de geheugenprestaties tussen de twee groepen, op het $\alpha = 0.10$ significantieniveau.

De psycholoog krijgt de volgende resultaten:

Gemakkelijk te lezen $(X_1)$	Moeilijk te lezen $(X_2)$
$\begin{array}{rcl} n_1 &=& 41\\ \bar{X_1} &=& 29.2\\ s_1 &=& 2.3 \end{array}$	$\begin{array}{rcl} n_2 &=& 37\\ \bar{X_2} &=& 29.7\\ s_2 &=& 2.8 \end{array}$

Bereken de $p$ -waarde van de toets en neem een beslissing over $H_0: \mu_1 - \mu_2 = 0$ . Rond je antwoord af op $3$ decimalen.

$p=0.397$

Op basis van deze $p$ -waarde wordt $H_0$ niet verworpen, omdat $\,p$ $\gt$ $\alpha$ .

Er zijn een aantal verschillende manieren waarop we de $p$ -waarde van de toets kunnen berekenen. Klik op één van de panelen om de desbetreffende oplossing te bekijken.

Excel berekening

Bereken de geschatte standaardfout van het gemiddelde verschil:
$s_{(\bar{X}_1-\bar{X}_2)} = \sqrt{\cfrac{s^2_1}{n_1}+\cfrac{s^2_2}{n_2}} = \sqrt{\cfrac{2.3^2}{41}+\cfrac{2.8^2}{37}} = 0.58388$
Bereken de $t$ -statistiek:
$t=\cfrac{\bar{X_1}-\bar{X_2}}{s_{(\bar{X}_1-\bar{X}_2)}}=\cfrac{29.2 - 29.7}{0.58388}=-0.8563$
Bepaal de vrijheidsgraden:
$df = min(n_1-1, n_2-1) = min( 40 , 36 )= 36$
Omdat zowel $n_1$ als $n_2$ beschouwd wordt als groot ( $\gt 30$ ), is de centrale limietstelling van toepassing en weten we dat de toetsingsgrootheid
$t=\cfrac{\bar{X_1}-\bar{X_2}}{ \sqrt{\cfrac{s^2_1}{n_1}+\cfrac{s^2_2}{n_2}}}$

ongeveer de $t_{df} = t_{36}$ verdeling heeft, onder de aanname dat $H_0$ waar is.

Om de $p$ -waarde van een $t$ -toets te berekenen, gebruik je de volgende Excel functie:

T.DIST(x, deg_freedom, cumulative)

x: De waarde waarvoor je de kans wilt berekenen.

deg_freedom: Een getal dat het aantal vrijheidsgraden aangeeft.

cumulative: Een logische waarde die de vorm van de functie bepaalt.

TRUE - gebruikt de cumulatieve verdelingsfunctie, $\mathbb{P}(X \leq x)$

FALSE - gebruikt de kansdichtheidsfunctie

Omdat dit een tweezijdige $t$ -toets is, voer je het volgende commando uit om de $p$ -waarde te berekenen:
$=2 \text{ * }(1 \text{ - } \text{T.DIST}(\text{ABS}(t),df,1))\\ \downarrow\\ =2 \text{ * }(1 \text{ - } \text{T.DIST}(\text{ABS}( \text{-}0.85634 ), 36 ,1))$
Dit geeft:
$p = 0.397$
Omdat $\,p$ $\gt$ $\alpha$ , moet $H_0: \mu_1 - \mu_2 = 0$ niet worden verworpen.

R berekening

Bereken de geschatte standaardfout van het gemiddelde verschil :
$s_{(\bar{X}_1-\bar{X}_2)} = \sqrt{\cfrac{s^2_1}{n_1}+\cfrac{s^2_2}{n_2}} = \sqrt{\cfrac{2.3^2}{41}+\cfrac{2.8^2}{37}} = 0.58388$
Bereken de $t$ -statistiek:
$t=\cfrac{\bar{X_1}-\bar{X_2}}{s_{(\bar{X}_1-\bar{X}_2)}}=\cfrac{29.2 - 29.7}{0.58388}=-0.8563$
Bepaal de vrijheidsgraden:
$df = min(n_1-1, n_2-1) = min( 40 , 36 )= 36$
Omdat zowel $n_1$ als $n_2$ beschouwd wordt als groot ( $\gt 30$ ), is de centrale limietstelling van toepassing en weten we dat de toetsingsgrootheid
$t=\cfrac{\bar{X_1}-\bar{X_2}}{ \sqrt{\cfrac{s^2_1}{n_1}+\cfrac{s^2_2}{n_2}}}$

ongeveer de $t_{df} = t_{36}$ verdeling heeft, onder de aanname dat $H_0$ waar is.

Om de $p$ -waarde van een $t$ -toets te berekenen, maak je gebruik van de volgende R functie:

pt(q, df, lower.tail)

q: De waarde waarvoor je de kans wilt berekenen.

df: Een getal dat het aantal vrijheidsgraden aangeeft.

lower.tail: Als TRUE (standaard), dan $\mathbb{P}(X \leq x)$ , anders, $\mathbb{P}(X \gt x)$ .

Omdat we te maken hebben met een tweezijdige $t$ -toets, voer je het volgende commando uit om de $p$ -waarde te berekenen:
$2 \text{ * } \text{pt}(q = \text{abs}(t), df = \text{min}(n_1 \text{ - } 1,n_2 \text{ - } 1), lower.tail = \text{FALSE})\\ \downarrow\\ 2\text{ * } \text{pt}(q = \text{abs}( \text{-}0.85634 ), df = 36 , lower.tail = \text{FALSE})$
Dit geeft:
$p = 0.397$
Omdat $\,p$ $\gt$ $\alpha$ , moet $H_0: \mu_1 - \mu_2 = 0$ niet worden verworpen.

Nieuw voorbeeld