Voorbeelden

Als we hebben $$P = a\in \mathbb{Z} \text{ en } a \lt 10\text{ en } a\gt 0$$ dan is $\left\{a\mid P\right\}$ de verzameling van alle natuurlijke getallen kleiner dan $10$.

Als we in plaats daarvan hebben $$P = \left(\rv{x,y}\text{ ligt op de eenheidscirkel rond de oorsprong}\right)$$ dan is $\left\{ \rv{x,y} \mid P \right\}$ de verzameling van punten in het reële vlak op de eenheidscirkel.

Voorwaarde

De voorwaarde $P$ in de impliciete gedefinieerde verzameling $\blue A = \{a\mid P\}$ is een verklaring over $a$ die de waarden waar of onwaar kan nemen. Dergelijke verklaringen zijn bekend als proposities in de logica.

Verifiëren of aan $P$ wordt voldaan (dat wil zeggen neemt de waarde waar aan) voor een bepaald object $a$ zorgt voor een beslissing of $a$ wel of geen element is van $\blue A$. Er zijn een aantal eisen aan de voorwaarde $P$ om ervoor te zorgen dat we een goede definitie van een verzameling hebben.

We zullen niet ingaan op de details, maar zullen wel een voorbeeld geven van een onmogelijke voorwaarde die voorkomt in de paradox die later beschreven wordt.

We moeten er op letten dat we voorzichtig zijn met welke variabelen (ook wel propositie letters) voorkomen in $P$. Bijvoorbeeld, als we willen dat de definitie $\blue A = \{a\mid P\}$ zinvol is, kunnen we niet $\blue A$ laten voorkomen in $P$. (Stel dat $\blue A = \{a\mid a\not\in A\}$ ). Ook zijn er nauwelijks mogelijkheden voor $\blue A$ als $P$ niet de variabele $a$ bevat. Denk terug aan Twee uitersten.

De variabele $a$ wordt beschouwd als een gebonden variabele en heeft de volgende twee belangrijke eigenschappen.

• De naam van de variabele heeft geen andere betekenis dan één voorkomen te relateren aan een andere binnen $\{a\mid P\}$. Dus als $\blue A = \{a\mid 3a\in \mathbb{N}\}$, dan beschouwen we deze beschrijving hetzelfde als $\blue A = \{b\mid 3b\in \mathbb{N}\}$. Natuurlijk moeten we voorkomen een variabele naam te gebruiken die al elders in $P$ wordt gebruikt. Bijvoorbeeld, in de beschrijving $\blue A = \left\{a\,\left|\, {a}\in \mathbb{N}\land \frac{a}{m}\in \mathbb{N}\right.\right\}$, waarbij $m$ een natuurlijk getal is, kunnen we $a$ niet vervangen door $m$. We zouden dan krijgen $\blue A = \left\{m\,\left|\, {m}\in \mathbb{N}\land \frac{m}{m}\in \mathbb{N}\right.\right\} = \{m\}$, waarbij $m$ is een natuurlijk getal. Dat is niet hetzelfde.
• De omvang van de naam $a$ is slechts de uitdrukking $\{a\mid P\}$. Als $a$ buiten deze uitdrukking voorkomt, is het niet dezelfde interne variabele $a$. Dus als $\blue A = \{a\mid 3a\in \mathbb{N}\}$, dan is de uitdrukking $a\not\in \blue A$ nog steeds zinvol; het betekent gewoon $3a\not\in \mathbb{N}$.

Paradox

We geven een klassieke paradox die duidelijk maakt dat er eisen zijn voor $P$. Gebruik de volgende definitie van $P$
$$P= \left(b \text{ is een barbier die alle personen scheert die niet zichzelf scheren}\right)$$
Laat $B=\left\{b\mid P\right\}$. Als $b\in B$, dan is $b$ een barbier die alle personen scheert die niet zichzelf scheren en niemand anders scheert. Dit impliceert dat $b$ een barbier is. Maar scheert $b$ zichzelf? Als hij dat niet doet, dan $b\in B$ impliceert dat $b$ zichzelf wel scheert, een contradictie. Dus $b$ moet zichzelf scheren. Maar $b\in B$ impliceert dat $b$ niemand anders scheert dan degenen die zichzelf niet scheren, dus $b$ scheert zichzelf niet, opnieuw een contradictie.

Logica kan worden gebruikt om dergelijke conflicten te vermijden. Hier wordt de paradox gebruikt als een waarschuwing dat de proposities die gebruikt worden voor het definiëren van een verzameling redelijk moeten zijn.

Waarom
De Opsomming werkt niet bij verzamelingen zoals $\mathbb{R}$, die niet telbaar zijn. Een typisch voorbeeld waarin de impliciete definite van een verzameling wel werkt en opsomming niet is een interval van reële getallen.

Bijvoorbeeld, het interval van alle reële getallen $x$ waarbij $x$ tussen $-\pi$ en $\pi$ ligt, wordt gegeven door
$$\ivcc{-\pi}{\pi} = \left\{x\mid x\in\mathbb{R}\ \land x\ge -\pi \land x\le \pi\right\}$$
Deze verzameling is niet telbaar.