Kettingregel voor differentiëren

Differentiëren: Afgeleiden en raaklijnen berekenen

Kettingregel voor differentiëren

Met de kettingregel kunnen we de afgeleide van een samengestelde functie bepalen aan de hand van de afgeleiden van de functies waaruit deze is samengesteld.

Kettingregel

Voor twee functies $\blue{f(x)}$ en $\green{g(x)}$ geldt $(\blue f \circ \green{g})'(x)=\blue f'(\green{g(x)}) \cdot \green{g'(x)}$

Voorbeeld
$\frac{\dd}{\dd x} \blue ( \green{x^2-5x}\blue{)^4}=4 \cdot (\green{x^2-5x})^3 \cdot (2x-5)$

De kettingregel zegt dat de afgeleide van een samengestelde functie $\blue f(\green{g(x)})$ gelijk is aan de afgeleide van de buitenste schakel $\blue f$ met daarin ingevuld de binnenste schakel $\green g$ vermenigvuldigd met de afgeleide van de binnenste schakel $\green g$ .
We noemen dit dus een ketting, omdat we een samengestelde functie kunnen zien als kettingfunctie bestaande uit twee schakels.

Bij het toepassen van de kettingregel is het belangrijk eerst te bepalen uit welke twee functies $\blue{f(x)}$ en $\green{g(x)}$ de functie is opgebouwd. In sommige gevallen zijn er meerdere opties mogelijk. Het is dan belangrijk de functies zo te kiezen dat zowel de afgeleide van $\blue{f(x)}$ als de afgeleide van $\green{g(x)}$ te bepalen is.

In het voorbeeld wordt de afgeleide van $(\blue f \circ \green g)(x)=\blue ( \green{x^2-5x}\blue{)^4}$ bepaald. Om deze afgeleide te bepalen, hebben we eerst bepaald wat de functies $\blue{f(x)}$ en $\green{g(x)}$ zijn.
In dit geval geldt dat de functie $\blue{f(x)}=\blue{x^4}$ en $\green{g(x)}=\green{x^2-5x}$ .
De afgeleiden van deze functies zijn gelijk aan $f'(x)=4x^3$ en $g'(x)=2x-5$ .
Hiermee kunnen we de afgeleide van $(\blue f \circ \green g)(x)=\blue ( \green{x^2-5x}\blue{)^4}$ met behulp van de kettingregel bepalen, zoals in het voorbeeld is gedaan.

Een andere notatie voor de kettingregel is
$\frac{\dd }{\dd x}\blue f(\green{g(x)})=\left.\frac{\dd }{\dd x}\blue{f(x)}\right|_{\green{g(x)}}\cdot \frac{\dd }{\dd x}\green{g(x)}$ Hier staat $\left.\frac{\dd }{\dd x}f(x)\right|_{a}$ voor $f'(a)$ , de afgeleide van $f(x)$ in het punt $a$ .

Voorbeeld
De functie $\blue f(\green{g(x)})= \left(\frac{3}{x} + 1\right)^2$ bestaat uit $\blue{f(x)}=\blue{x^2}$ en $\green{g(x)}=\green{\frac{3}{x}+1}$ . Dan is $\blue f(\green{g(x)})= \left(\frac{3}{x} +1\right)^2$ en luidt de regel: $\begin{array}{rcl}\dfrac{\dd}{\dd x}\left(\dfrac{3}{x}+1 \right)^2&=&\left.\dfrac{\dd }{\dd x}\blue{x^2}\right|_{\green{\frac{3}{x} +1}}\cdot \dfrac{\dd }{\dd x}\left(\green{\dfrac{3}{x} +1}\right)\\&=& 2 \cdot \left( \green{\dfrac{3}{x} +1} \right) \cdot -\dfrac{3}{x^2} \\ &=& -\dfrac{18}{x^3} - \dfrac{6}{x^2}\end{array}$

De kettingregel gebruikt de afgeleide van $\green g$ in $x$ en de afgeleide van $\blue f$ in $\green{g(x)}$ . Deze beide afgeleiden moeten bestaan om de regel geldig te laten zijn.

Laat $\blue{f}$ en $\green{g}$ twee functies zijn, waarbij $\green g$ differentieerbaar is en $\blue f$ differentieerbaar is op het bereik van $g$ . Laat nu $x$ een punt zijn in het domein van $\green g$ .

Om de kettingregel te bewijzen, definiëren we eerst een nieuwe functie $a(z)=\left\{\begin{array}{ll}\dfrac{\blue{f}(\green{g(x)}+z)-\blue f(\green{g(x)})}{z}-\blue f'(\green{g(x)}) & \text{als } z \ne 0 \\ 0 & \text{als } z=0\end{array}\right.$
Wegens de definitie van de afgeleide geldt $\lim_{z \to 0}a(z)=\blue f'(\green{g(x)})-\blue f'(\green{g(x)})=0$
Dit betekent dat $a(z)$ continu is in $z=0$ . Dit hebben we later in het bewijs nodig.

De definitie van $a(z)$ voor $z\ne 0$ kan herschreven worden door $\blue f'(\green{g(x)})$ aan beide kanten op te tellen en vervolgens beide kanten met $z$ te vermenigvuldigen. Dat geeft:
$\blue{f}(\green{g(x)}+z)-\blue f(\green{g(x)})=\left(\blue f'(\green{g(x)})+a(z)\right) \cdot z$
We vullen nu in $z=\green{g(x+h)}-\green{g(x)}$ . Dat geeft:
$\blue{f}(\green{g(x)}-(\green{g(x+h)}-\green{g(x)}))-\blue f(\green{g(x)})=\left(\blue f'(\green{g(x)}+a(\green{g(x+h)}-\green{g(x)})\right) \cdot \left(\green{g(x+h)}-\green{g(x)}\right)$
Dit kunnen we vereenvoudigen tot
$\blue{f}(\green{g(x+h)})-\blue f(\green{g(x)})=\left(\blue f'(\green{g(x)}+a(\green{g(x+h)}-\green{g(x)})\right) \cdot \left(\green{g(x+h)}-\green{g(x)}\right)$
In de bovenstaande uitdrukking willen we $h$ naar $0$ laten gaan. Daarom bepalen we nu eerst $\lim_{h \to 0} a(\green{g(x+h)}-\green{g(x)})$ .
Omdat differentieerbare functies altijd continu zijn, geldt dat $\lim_{h \to 0}(\green{g(x+h)}-\green{g(x)})=0$ .
Eerder toonden we aan dat $a(z)$ continu is in $z=0$ , daarom kunnen we nu de rekenregel voor samenstelling van limieten gebruiken. Dat geeft:
$\lim_{h \to 0}a(\green{g(x+h)}-\green{g(x)})=\lim_{z \to 0} a(z)=0$
Nu kunnen we de afgeleide van $\blue f(\green{g(x)})$ bepalen.
$\begin{array}{rcl}\dfrac{\dd }{\dd x}(\blue f(\green{g(x)}))&=& \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{\blue f(\green{g(x+h)})-\blue f(\green{g(x)})}{h} \\&&\quad \blue{\text{definitie afgeleide}}\\ &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{\green{g(x+h)}-\green{g(x)}}{h} \cdot \left(\blue f'(\green{g(x)})+a(\green{g(x+h)}-\green{g(x)})\right) \\&&\quad \blue{\text{eerdere afleiding gebruikt}}\\ &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{\green{g(x+h)}-\green{g(x)}}{h} \cdot \lim_{h\to 0} \left(\blue f'(\green{g(x)})+a(\green{g(x+h)}-\green{g(x)})\right) \\&&\quad \blue{\text{limieten gesplitst, want ze bestaan beiden}}\\ &=& \green{g'(x)} \cdot \left(\blue f'(\green{g(x)}+0\right) \\&&\quad \blue{\text{limieten bepaald}}\\ &=& \green{g'(x)} \cdot \blue f'(\green{g(x)}) \\&&\quad \blue{\text{uitgerekend}}\end{array}$
Hiermee is de kettingregel bewezen.

Bepaal de afgeleide van de functie ${{1}\over{\left(x+4\right)^{{{1}\over{3}}}}}$ .

$\frac{\dd}{\dd x}\left ({{1}\over{\left(x+4\right)^{{{1}\over{3}}}}}\right)=$ $-{{1}\over{3\cdot \left(x+4\right)^{{{4}\over{3}}}}}$

We kunnen $\dfrac{\dd}{\dd x}\left({{1}\over{\left(x+4\right)^{{{1}\over{3}}}}}\right)$ berekenen met de kettingregel door $(f\circ g)(x)={{1}\over{\left(x+4\right)^{{{1}\over{3}}}}}$ te schrijven met $f(x)=x^{{{1}\over{3}}}$ en $g(x)={{1}\over{x+4}}$ . Nu kunnen we de kettingregel toepassen, die zegt: $(f\circ g)'(x)=f'(g(x)) \cdot g'(x)$ .
$\begin{array}{rcl}\displaystyle \dfrac{\dd}{\dd x} \left({{1}\over{\left(x+4\right)^{{{1}\over{3}}}}}\right) &=& \displaystyle {{1}\over{3\cdot g(x)^{{{2}\over{3}}}}} \cdot \frac{\dd }{\dd x}\left(g(x)\right) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{kettingregel toegepast met }f'(x)={{1}\over{3\cdot x^{{{2}\over{3}}}}}}\\ &=&\displaystyle \left({{\left(x+4\right)^{{{2}\over{3}}}}\over{3}}\right)\cdot \frac{\dd }{\dd x}\left({{1}\over{x+4}}\right) \\ &&\phantom{xxx}\blue{g(x)={{1}\over{x+4}} \text{ ingevuld }}\\ &=&\displaystyle \left({{\left(x+4\right)^{{{2}\over{3}}}}\over{3}}\right)\cdot\left( -{{1}\over{\left(x+4\right)^2}}\right) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\frac{\dd }{\dd x}\left({{1}\over{x+4}}\right) \text{uitgerekend}}\\ &=&\displaystyle -{{1}\over{3\cdot \left(x+4\right)^{{{4}\over{3}}}}}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{vereenvoudigd}} \end{array}$

Nieuw voorbeeld