Exponentiële groei

Exponentiële en logaritmische groei: Exponentiële groei

Exponentiële groei

Als een waarde $c$ elk tijdsinterval van vaste lengte met hetzelfde percentage verandert, dan wordt $c$ in feite iedere keer vermenigvuldigd met dezelfde factor. We hebben dan te maken met een constant veelvoud van een exponentiële functie.

Exponentiële groei-functie

Een exponentiële groei-functie heeft functievoorschrift

$f(x) = c \cdot g^x$

Hierbij is

$c$ de beginwaarde, dat wil zeggen: de functiewaarde voor $x=0$ ,
$g$ de groeifactor of het grondtal,
$x$ het argument of de exponent

Een groei die met een exponentiële groei-functie beschreven kan worden, noemen we ook wel een exponentiële groei-model of kortweg exponentiële groei.

De exponentiële groei-functie is alleen gedefinieerd voor $g \gt 0$ .

Dit heeft invloed op het bereik van een exponentiële groei-functie:

Als $c \gt 0$ dan $f(x) \gt 0$ voor alle $x$
Als $c \lt 0$ dan $f(x) \lt 0$ voor alle $x$

Hierin is $y=0$ een horizontale asymptoot als $g \neq 1$ . Dit betekent dat de functie nooit de waarde $0$ aanneemt, maar dat we functiewaarden er wel willekeurig dicht bij kunnen komen. De functiewaarde komt dichter en dichter bij $0$ als $x$ verder en verder van $0$ komt. In het geval $g\gt 1$ , nadert de functiewaarde $0$ als $x$ steeds verder van $0$ weggaat in de negatieve richting. In het geval $0<g<1$ , nadert de functiewaarde $0$ als $x$ steeds verder van $0$ weggaat in de positieve richting.

Als $c = 0$ , dan is $f(x)$ de constante functie $0$ , dat wil zeggen: $f(x) = 0$ voor alle $x$

Het argument $x$ is de looptijd van de groei. Als $x$ een natuurlijk getal is, dan is $x$ het aantal malen dat $c$ met de groeifactor $g$ vermenigvuldigd moet worden om de functiewaarde te krijgen.

De exponentiële groei-functie $f(x) = c \cdot g^x$ is dan en slechts dan een exponentiële functie als de constante $c$ gelijk is aan $1$ .

Om de kenmerken van een exponentiële groei-functie te kunnen bespreken voeren we twee begrippen in die op een willekeurige functie van toepassing zijn.

Groei en relatieve groei

Laat $a$ en $p$ getallen zijn met $p\ge0$ en laat $f(x)$ een functie zijn die gedefinieerd is voor alle $x$ met $a\le x\le a+ p$ .

De waarde $f(a+p)-f(a)$ heet de groei van $f(x)$ tussen $a$ en $a+p$ .
Als $f(a)\ne0$ dan heet de waarde $\frac{f(a+p)-f(a)}{f(a)}$ de relatieve groei van $f(x)$ tussen $a$ en $a+p$ .

Als bijvoorbeeld $f(x)=x^2$ , dan is de groei van $f(x)$ tussen $0$ en $1$ gelijk aan $f(1)-f(0)=1$ . De relatieve groei van deze functie tussen $0$ en $1$ is niet gedefinieerd omdat $f(0)=0$ . De relatieve groei van $f(x)$ tussen $1$ en $1+p$ is gelijk aan $\frac{(1+p)^2-1}{1}=p\cdot(p+2)$ .

De relatieve groei moet niet verward worden met het differentiequotiënt $\frac{f(a+p)-f(a)}{p}$ , dat bij differentiëren een grote rol speelt. Bij differentiëren is de noemer de lengte van het interval $\ivcc{a}{a+p}$ , terwijl bij relatieve groei de noemer de waarde van $f$ in het beginpunt van het interval is.

Hieronder geven we enkele kenmerkende eigenschappen van exponentiële groei.

Relatieve groei van het exponentiële groei-model

Laat $g$ een positief getal zijn en $c$ een constante ongelijk aan $0$ .

Als $f(x) = c\cdot g^x$ , dan is de relatieve groei van $f(x)$ tussen elk tweetal punten $a$ en $a+p$ gelijk aan $g^p-1$
De relatieve groei van een exponentiële groei-functie is onafhankelijk van de waarde van $a$ .
De relatieve groei van een exponentiële groei-functie is onafhankelijk van de beginwaarde $c$ .

1. De relatieve groei van $f(x)$ tussen $a$ en $a+p$ is gelijk aan

$\frac{f(a+p)-f(a)}{f(a)} =\frac{c\cdot g^{a+p}-c\cdot g^a}{c\cdot g^a}= g^p-1$

2 en 3. Het functievoorschrift van de relatieve groei is $g^p-1$ . Daarin komen $a$ en $c$ niet voor. Dit functievoorschrift hangt alleen af van de groeifactor $g$ en de lengte $p$ van het interval $\ivcc{a}{a+p}$ .

De eerste uitspraak is een kenmerk van exponentiële groei: Als $f(x)$ een functie is met relatieve groei $g^p-1$ tussen $a$ en $a+p$ voor elk tweetal getallen $a$ en $p$ met $p\ge0$ , dan heeft $f(x)$ de vorm

$f(x)=f(0)\cdot g^x$

Dit is in te zien door $a=0$ en $p=x$ te kiezen in de formule uit de definitie voor relatieve groei:

$\frac{f(x)}{f(0)}-1 =\frac{f(x)-f(0)}{f(0)}=\frac{f(a+p)-f(a)}{f(a)}=g^p-1$

zodat $\frac{f(x)}{f(0)}=g^p$ en dus $f(x)=f(0)\cdot g^x$ .

Dit laat zien dat het exponentiële groei-model alle functies omvat die op elk interval $\ivcc{a}{a+p}$ relatieve groei $g^p-1$ hebben.

Als $y = c\cdot g^x$ , dan volgt uit de definitie dat de relatieve groei van het exponentiële groei-model tussen $a$ en $a+1$ gelijk is aan $g-1$ . We geven deze speciale waarde een eigen naam:

Groeivoet

De gr‍oeivoet van een exponentiële groei met functievoorschrift $f(x) = c \cdot g^x$ is gelijk aan $g-1$ .

Als we de groeivoet met $100$ % vermenigvuldigen, dan krijgen we de vaste procentuele toe- of afname van het exponentiële groei-model.

De groeivoet is dus de relatieve groei van het exponentiële groei-model op een interval ter lengte $1$ .

Zoals we bij de definitie van exponentiële groei-functie gezien hebben, hangt het van de grootte van $g$ af of sprake is van toe- of afname.

Beschrijf alle besproken begrippen voor een exponentiële groei met beginwaarde $3$ en groeifactor $2$ .

Voor een exponentiële groei met beginwaarde $3$ en groeifactor $2$ geldt $y = 3\cdot 2^{x}$ .

Als $x$ toeneemt van $4$ naar $5$ , dan neemt $y$ toe van $48$ naar $96$ . De groei van $y$ op het interval $\ivcc{4}{5}$ is dus ${96-48} = 48$ .

De relatieve groei van $y$ bij deze toename van $x$ is dus $\frac{96-48}{48} =\frac{48}{48} = 1$ .

Maar ook bij elke andere toename met $1$ voor $x$ is de relatieve groei van $y$ gelijk aan ${1}$ . De groeivoet van dit groeimodel is immers gelijk aan ${2}-1 = {1}$ .

De vaste procentuele toename van dit groeimodel is $1 \cdot 100 = 100$ %.

De grafiek van de exponentiële groei-functie $3\cdot 2^{x}$ is hieronder getekend. De grote stijging maakt wel duidelijk dat exponentiële groei erg sterke groei voorstelt.

Nieuw voorbeeld