We gaan uit van het gegeven dat elke termijn een vast bedrag betaald wordt. Dit bedrag is $a_j+r_j$ voor periode $j$. We laten eerst zien dat de aflossingen $a_j$ van een annuïteitenlening in de periodes $j=1,2,\ldots$ een meetkundige reeks vormen met reden $(1+i)$:

$$\begin{array}{lclcc} &&Ann = r_j + a_j = r_{j+1} + a_{j+1} &(1)&\\ &&\phantom{xxxxxxx}\color{blue}{\text{kenmerkende formule annuïteit}}\\ &&r_j = i \cdot R_{j-1} &(2)&\\ &&\phantom{xxxxxxx}\color{blue}{\text{formule rentebetaling periode } j}\\ &&r_{j+1} = i \cdot R_j = i \cdot (R_{j-1} - a_j) = i\cdot R_{j-1} - i\cdot a_j &(3)&\\ &&\phantom{xxxxxxx}\color{blue}{\text{formule rentebetaling periode }j + 1}&&\\ &&i\cdot R_{j-1} + a_j = i\cdot R_{j-1} - i\cdot a_j + a_{j+1}&&\\ &&\phantom{xxxxxxx}\color{blue}{\text{(2) en (3) ingevuld in tweede gelijkheid van (1)}}&&\\ &&a_{j+1}=a_j+i\cdot a_j\\ &&\phantom{xxxxxxx}\color{blue}{\text{de vorige vergelijking vereenvoudigd}}&&\\ && a_{j+1}=a_j\cdot (1+i)&& \\ &&\phantom{xxxxxxx}\color{blue}{a_j\,\,\text{buiten haakjes gehaald}}&&\\ \end{array}$$

Dit laat zien dat inderdaad $a_j=a_1\cdot (1+i)^{j-1}$. Om $a_1$ te bepalen, gebruiken we het feit dat de som van alle aflossingen gelijk is aan het beginkapitaal $K$:

$$\begin{array}{rcl}K&=&\sum_{j=1}^na_j \\ &=&a_1\cdot\sum_{j=1}^n{(1+i)^{j-1}} \\ &&\phantom{xx}\color{blue}{a_j = a_1\cdot (1+i)^{j-1}}\\ &=&a_1\cdot\dfrac{(1+i)^{n}-1}{1+i-1} \\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{meetkundige reeks}}\\ &=&a_1\cdot\dfrac{(1+i)^{n}-1}{i}\end{array}$$

We vinden dus de lineaire vergelijking $a_1\cdot\dfrac{(1+i)^{n}-1}{i}=K$ met onbekende $a_1$, waaruit volgt

$$a_1 = \dfrac{K\cdot i}{(1+i)^n-1}$$

Nu we alle $a_j$ kennen, berekenen we de restschulden $R_j$ als volgt:

$$\begin{array}{rcl} R_j &=& R_{j-1}-a_j = R_{j-2}-a_{j-1}-a_j=\cdots\\ &=&R_0-a_1-a_2-\cdots-a_j\\ &=&K-a_1\cdot\left(1+(1+i)+(1+i)^2+\cdots+(1+i)^{j-1}\right)\\ &=&K-a_1\cdot \dfrac{(1+i)^j-1}{i}\\ &&\phantom{xxxxxxx}\color{blue}{\text{meetkundige reeks}}\\&=&K- \dfrac{K\cdot i}{(1+i)^n-1}\cdot \dfrac{(1+i)^j-1}{i}\\ &&\phantom{xxxxxxx}\color{blue}{\text{formule voor }a_1\text{ ingevuld}}\\&=&K- \dfrac{K\cdot \left((1+i)^j-1\right)}{(1+i)^n-1}\\&&\phantom{xxxxxxx}\color{blue}{\text{breuken vermenigvuldigd}}\\ &=&K\cdot\dfrac{(1+i)^n-1- \left((1+i)^j-1\right)}{(1+i)^n-1}\\&&\phantom{xxxxxxx}\color{blue}{\text{alles rechts onder één noemer gebracht}} \\&=& K\cdot \dfrac{1-(1+i)^{j-n}}{1-(1+i)^{-n}}\\ &&\phantom{xxxxxxx}\color{blue}{\text{breuk vereenvoudigd}} \end{array}$$

De rentebetalingen $r_j$ zijn direct gerelateerd aan de restschulden:

$$r_j = i\cdot R_{j-1}= i\cdot K\cdot \dfrac{1-(1+i)^{j-1-n}}{1-(1+i)^{-n}}$$

We concluderen dat inderdaad $Ann=a_j+r_j$ constant (dat wil zeggen: niet van $j$ afhangt) is voor de gevonden waarden van $a_j$ en $r_j$:

$$\begin{array}{rcl} a_j+r_j &=&a_1\cdot (1+i)^{j-1}+i\cdot K\cdot \dfrac{1-(1+i)^{j-1-n}}{1-(1+i)^{-n}}\\&&\phantom{xxxxxxx}\color{blue}{\text{formules voor }a_j\text{ en }r_j\text{ ingevuld}} \\ &=& \dfrac{K\cdot i}{(1+i)^n-1}\cdot (1+i)^{j-1}+i\cdot K\cdot \dfrac{(1+i)^n-(1+i)^{j-1}}{(1+i)^{n}-1}\\ &&\phantom{xxxxxxx}\color{blue}{\text{formule voor }a_1\text{ ingevuld}}\\ &=& K\cdot i\cdot \dfrac{ (1+i)^{j-1}+ (1+i)^n-(1+i)^{j-1}}{(1+i)^{n}-1}\\ &&\phantom{xxxxxxx}\color{blue}{\text{gelijknamige breuken opgeteld}}\\ &=& K\cdot i\cdot \dfrac{ (1+i)^n}{(1+i)^{n}-1}\\&&\phantom{xxxxxxx}\color{blue}{\text{termen met }j\text{ tegen elkaar weggestreept}}\\ &=&\dfrac{K\cdot i}{1-(1+i)^{-n}}\\&&\phantom{xxxxxxx}\color{blue}{\text{teller en noemer gedeeld door }(1+i)^n} \end{array}$$

De laatste uitdrukking is de formule voor $Ann$ in de stelling.