Inleiding tot differentiëren: Afgeleiden van exponentiële functies en logaritmen
Afgeleide van exponentiële functies en logaritmen
De exponentiële functie en logaritme verdienen speciale namen vanwege de volgende speciale eigenschappen.
Afgeleiden van de natuurlijke exponentiële functie en natuurlijke logaritme
De afgeleide van de natuurlijke exponentiële functie #\exp(x)# is #\exp(x)#.
De afgeleide van de natuurlijke logaritme #\ln(x)# is #\dfrac{1}{x}#.
Eerst bepalen we de afgeleide van #\exp# in #a#. Het differentiequotiënt kan als volgt herschreven worden:\[\frac{\exp(a+h)-\exp(a)}{h} = \frac{{\e}^{a+h}- {\e}^a}{h} = {\e}^a\frac{{\e}^{h}-1}{h}\tiny.\]
Het is bekend dat #\lim_{h\to 0}\frac{{\e}^h-1}{h} = 1#. Hieruit volgt:\[\begin{array}{rcl}{\exp}'(a)&=& \lim_{h\to 0}\frac{\exp(a+h)-\exp(a)}{h} \\ &=& \lim_{h\to 0}{\e}^a\frac{{\e}^{h}-1}{h}\\ &=& {\e}^a\cdot\lim_{h\to 0}\frac{{\e}^{h}-1}{h} \\ &=& {\e}^a=\exp(a)\end{array}\] De afgeleide functie van #\exp# is dus #\exp# zelf.
Later zal bewezen worden dat de afgeleide van #\ln(x)# gelijk is aan #\dfrac{1}{x}#.
Afgeleiden van exponentiële en logaritmische functies
De afgeleide van de exponentiële functie #f(t)=a^t# is gelijk aan #f'(t)=\ln(a)\cdot a^t#.
De afgeleide van de logaritmische functie #f(x) = \log_a(x)# is gelijk aan #f'(x)=\frac{1}{x\cdot \ln(a)}#.
De eerste uitspraak volgt uit:\[\begin{array}{rcl} \frac{\dd}{\dd t}\left(a^t\right) &=& \lim_{h\to 0}\frac{a^{t+h}-a^t}{h}\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie afgeleide}}\\ &=&\lim_{h\to 0}\frac{\e^{\ln(a)\cdot(t+h)}-\e^{\ln(a)\cdot t}}{h}\\&&\phantom{xx}\color{blue}{a^x=\e^{\ln(a)\cdot x}}\\ &=&\lim_{h\to 0}\left(\ln(a)\cdot\frac{\e^{\ln(a)\cdot t+\ln(a)\cdot h}-\e^{\ln(a)\cdot t}}{\ln(a)\cdot h}\right)\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{teller en noemer vermenigvuldigd met }\ln(a)} \\ &=&\ln(a)\cdot \lim_{h\to 0}\frac{\e^{\ln(a)\cdot t+\ln(a)\cdot h}-\e^{\ln(a)\cdot t}}{\ln(a)\cdot h}\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\lim_{h\to0}\left(\ln(a)\cdot g(h)\right)=\ln(a)\cdot\lim_{h\to0}g(h)}\\&=&\ln(a)\cdot \lim_{k\to 0}\frac{\e^{\ln(a)\cdot t+k}-\e^{\ln(a)\cdot t}}{k}\\&&\phantom{xx}\color{blue}{k=\ln(a)\cdot h}\\&=&\ln(a)\cdot{\exp}'(\ln(a)\cdot t)\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie afgeleide}}\\&=&\ln(a)\cdot{\exp}(\ln(a)\cdot t)\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\exp'=\exp}\\&=&\ln(a)\cdot{\e}^{\ln(a)\cdot t}\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie }\exp}\\&=&\ln(a)\cdot{a}^{t}\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\e^{\ln(a)\cdot t}=a^t}\end{array}\]De tweede uitspraak volgt uit: \[\begin{array}{rcl} \frac{\dd}{\dd x} \log_a(x) &=&\frac{\dd}{\dd x}\frac{\ln(x)}{\ln(a)} \\&&\phantom{xx}\color{blue}{\log_a(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}}\\&=&\frac{1}{\ln(a)}\cdot\frac{\dd}{\dd x}{\ln(x)}\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\frac{\dd}{\dd x}\left(c\cdot f(x)\right)=c\cdot f'(x)}\\&=&\frac{1}{\ln(a)}\cdot\frac{1}{x}\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\frac{\dd}{\dd x}\ln(x)=\frac{1}{x}}\\&=&\frac{1}{\ln(a)\cdot x}\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}\end{array}\]
Volgens de theorie is de afgeleide van de exponentiële functie #f(u)=a^{u}# gelijk aan #f'(u)=\ln(a) \cdot a^{u}#.
Als we #3# substitueren voor #a#, dan vinden we #f'(u)=\ln \left(3\right)\cdot {3}^{u}#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.