Rekenregels voor differentiëren: Rekenregels voor de afgeleide
Kettingregel voor differentiëren
Laat #f# en #g# functies zijn. De samenstelling van #f# en #g# is de functie #f\circ g# gegeven door #f\circ g(x) = f(g(x))#. De volgende regel levert een methode om de afgeleide van een samengestelde functie te berekenen.
De kettingregel voor differentiatie
De afgeleide van #f\circ g# is #(f'\circ g)\cdot g'#, ofwel #(f\circ g)'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x)#.
We bewijzen deze regel niet. Toch is de regel intuïtief duidelijk. Als #g(x)# een afgeleide heeft gelijk aan #2# in #x=a# en als #f(u)# heeft een afgeleide met waarde #3# in #g(a)#, dan een kleine toename #\Delta a# van #a# geeft als resultaat een toename van #2 \Delta a# in #g(a)# en dus #f# toegepast op #u+2 \Delta a# geeft een toename van ongeveer #3 \cdot 2 \Delta a=6 \Delta a#.
Als we met functievoorschriften werken, is het handig om de volgende, eerder ingevoerde, notatie te gebruiken:\[\frac{\dd }{\dd x}f(g(x))=\left.\frac{\dd }{\dd x}f(x)\right|_{g(x)}\cdot \frac{\dd }{\dd x}g(x)\]Hier staat #\left.\frac{\dd }{\dd x}f(x)\right|_{a}# voor #f'(a)#, de afgeleide van #f# in het punt #a#. Deze notatie komt van pas als #f(x)# gegeven is door een functievoorschrift: stel #f(x)=x^2+1# en #g(x)=\frac{3}{x}#. Dan is #f(g(x))= \left(\frac{3}{x}\right)^2+1# en luidt de regel:\[\frac{\dd}{\dd x}\left(\left(\frac{3}{x}\right)^2+1\right)=\left.\frac{\dd }{\dd x}(x^2+1)\right|_{\frac{3}{x}}\cdot \frac{\dd }{\dd x}\frac{3}{x}\tiny.\]
De kettingregel stelt dat de afgeleide van #f\circ g# gelijk is aan \[\begin{array}{rcl}f'(g(x))\cdot g'(x) &=& (2g(x) + 4)\cdot 3\cdot x^2\\&&\phantom{uvwxyz}\color{blue}{f'(x) = 2x+4 \text{ en }g'(x) = 3\cdot x^2 }\\&=& (2(x^3+3)+4)\cdot 3x^{2}\\&&\phantom{uvwxyz}\color{blue}{g(x) = x^3+3\text{ ingevuld } }\\ &=& 6\cdot x^5+30\cdot x^2\\&&\phantom{uvwxyz}\color{blue}{\text{ vereenvoudigd } }\end{array}\]
Het is ook mogelijk eerst de samenstelling van #x^2+4\cdot x-1# en #x^3+3# uit te rekenen: #f(g(x)) = x^6+10\cdot x^3+20#. De afgeleide volgt dan uit Afgeleide van een veeltermfunctie.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.