Afgeleiden exponentiële functies en logaritmen herbekeken

Rekenregels voor differentiëren: Rekenregels voor de afgeleide

Afgeleiden exponentiële functies en logaritmen herbekeken

Nu we kettingregel hebben behandeld, kunnen we opnieuw kijken naar de afgeleide van machtsfuncties.

Exponentiële regel voor differentiatie

Laat $a$ een positief getal zijn.

De afgeleide van de functie $a^x$ is $\ln(a)\cdot a^x$ .

Omdat $a^x = \left({\e}^{\ln(a)}\right)^x = {\e}^{\ln(a)\cdot x} = \exp(\ln(a)\cdot x)$ , vinden we met behulp van de kettingregel

$\begin{array}{rcl} \dfrac{\dd}{{\dd}x}(a^x) &=&\exp'(\ln(a)\cdot x)\cdot \dfrac{\dd}{{\dd}x}(\ln(a)\cdot x)\\ &=& \exp(\ln(a)x)\cdot \ln(a)\\&=&\exp(\ln(a^x))\cdot \ln(a)\\ &=& a^x \cdot \ln(a)\,\tiny.\end{array}$ Dat bewijst de stelling.

Dezelfde regel kunnen we gebruiken om de afgeleide van de natuurlijke logaritme te bepalen.

Logaritmische regel voor differentiatie

Laat $a$ een positief getal zijn dat ongelijk is aan $1$ .

De afgeleide van de functie $\log_a(x)$ is $\dfrac{1}{\ln(a)\cdot x}$ .

In het bijzonder is de afgeleide van de functie $\ln(x)$ gelijk aan $\dfrac{1}{x}$ .

Bekijk eerste $f(x)=\ln(x)$ . Dan geldt $\ee^{f(x)}=x$ . Als we aan beide zijden van de vergelijking de afgeleide nemen en de kettingregel toepassen, dan krijgen we de volgende gelijkheid:

$e^{f(x)} \cdot f'(x)=1$

Aangezien $\ee^{f(x)}=x$ , geeft dit $x\cdot f'(x)=1$ , zodat $f'(x)=\frac{1}{x}$ . Dit bewijst het speciale geval.]

Het algemene geval kan hier als volgt uit afgeleid worden:

$\begin{array}{rcl}\dfrac{\dd}{\dd x}\left(\log_a(x)\right)&=&\dfrac{\dd}{\dd x}\left(\dfrac{\ln(x)}{\ln(a)}\right)\\ &=&\dfrac{1}{\ln(a)}\cdot\dfrac{\dd}{\dd x}\left(\ln(x)\right)\\ &=&\dfrac{1}{\ln(a)}\cdot\dfrac{1}{x}\\ &=&\dfrac{1}{\ln(a)\cdot x} \end{array}$

Bereken de afgeleide van $f(t)= 6^t$ .

$f'(t)=$ $\ln \left(6\right)\cdot 6^{t}$

We passen de exponentiële afgeleideregel toe met $a=6$ : de afgeleide van de functie $f(t)= 6^t$ is $f'(t)=\ln \left(6\right)\cdot 6^{t}$ .

Nieuw voorbeeld