Rekenregels voor differentiëren: Toepassingen van de afgeleide
Elasticiteit
Het is nu duidelijk dat de afgeleide van een functie een maat is voor de absolute (directe) verandering van de functie. Maar je kunt ook overwegen de relatieve (proportionele) snelheid van verandering te gebruiken. Dit wordt vaak gebruikt in de economische analyse, bijvoorbeeld: het Bruto Binnenlands Product (BBP) van Griekenland steeg met 0,5%. Vooral als het gaat om prijzen zijn we geïnteresseerd in de relatieve (procentuele) daling van de vraag als gevolg van de relatieve (procentuele) verhoging van de prijs. In het algemeen definiëren we de relatieve verandering van een functie als volgt.
Elasticiteit
Voor een positieve differentieerbare functie #f(x)# wordt de elasticiteit, of de relatieve snelheid van verandering, voor #x \gt 0# gedefinieerd als:
\[{\rm El}_x f(x)=f'(x) \cdot \dfrac{x}{f(x)}\tiny.\]
Bekijk, om deze definitie te begrijpen, de relatieve snelheid van verandering van #x# naar #x+h# voor een klein getal #h#: \[\begin{array}{rcl}\displaystyle \frac{\phantom{x}\frac{ f(x+h)-f(x)}{f(x)}\phantom{x}}{\frac{h}{x}} &=&{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}\cdot {\dfrac{x}{f(x)} }\tiny.\end{array}\] Omdat #\frac{f(x+h)-f(x)}{h}# het differentiequotiënt is, benadert het #f'(x)# voor #h\to0#. Als gevolg daarvan gaat de relatieve snelheid van verandering van #x# naar #x+h# in de richting van de limiet #f'(x)\cdot\frac{x}{f(x)}# voor #h\to0#.
De elasticiteit is een functie #{\rm El}_x f# die alleen afhankelijk is van #f#, en niet van het argument #x#. De notatie #{\rm El}_x f(x)# is enigszins verwarrend omdat de variabele #x# niet wordt bepaald door #f#. De reden voor deze keuze is dat we later zullen werken met functies van meerdere variabelen en dat de index #x# in dat geval aangeeft ten opzichte van welke variabele we de elasticiteit bepalen.
We zullen dit fundamentele economische begrip van elasticiteit illustreren aan de hand van een voorbeeld.
\[d(p)=100\cdot p^2-8\cdot p+16 \tiny.\]Hierbij is #p# de prijs #(0 \le p \le 4)#.
De schipper van de veerpont overweegt om het tarief te verhogen, in de hoop zijn inkomen te vergroten. Mogelijk zullen sommige automobilisten nu wegblijven van de veerpont wegens de toegenomen kosten. Daarom wil de schipper graag de veranderingen in de hierbij betrokken variabelen #p# en #q# vergelijken.
Hoe kan hij dat doen?
Als de schipper het gevolg van de toename van het tarief met 0.25 dollar op de vraag wil berekenen, dan kan hij gebruik maken van het differentiequotiënt:
\[ \begin{array}{rcl}\frac{\Delta q}{\Delta p}&=& \dfrac{d(2.75)-d (2.50)}{0.25}\\&=&\dfrac{100\cdot (2.75)^2-8\cdot \cdot(2.75)+16-100\cdot (2.5)^2-8\cdot \cdot(2.5)+16}{0.25}\\&=&-275.00 \end{array}\]In feite is het differentiequotiënt dat hier gebruikt het quotiënt van twee absolute veranderingen.
Om een duidelijker beeld van de gevoeligheid van de vraag op de prijs te krijgen wordt ook wel met relatieve veranderingen gewerkt. Op zichzelf geeft een absolute toename van de prijs met 1 dollar namelijk niet veel informatie. Een prijstoename van 1 naar 2 dollar is een toename van 100%, terwijl dezelfde toename op een prijs van 1000 dollar slechts een toename van 0,1% betekent.
In plaats van het quotiënt van de absolute veranderingen in vraag #q# en prijs #p#, bekijken we het quotiënt van de relatieve veranderingen in vraag en de relatieve verandering in prijs. Aangezien we de relatieve veranderingen in vraag en prijs respectievelijk kunnen schrijven als #\frac{\Delta q}{q}# en #\frac{\Delta p}{p}# is dit quotiënt gelijk aan:
\[\begin{array}{rcl} \frac{\Delta q}{q}/\frac{\Delta p}{p} &=& \dfrac{d(2.75)-d(2.50)}{d(2.50)}/\dfrac{0.25}{2.50} \\&=&\dfrac{100\cdot (2.75)^2-8\cdot \cdot(2.75)+16-100\cdot (2.5)^2-8\cdot \cdot(2.5)+16}{100\cdot (2.5)^2-8\cdot \cdot(2.5)+16}/0.1 \\&=& -3.06 \end{array}\]
Een prijstoename van #2.50# met #0.25# is hetzelfde als een relatieve prijstoename van #0.1# of een procentuele prijstoename van #10\%#; dit is de noemer van het quotiënt. Het maakt geen verschil voor deze formule of we het quotiënt van relatieve verandering of percentuele verandering nemen; wanneer we gebruik maken van procentuele verandering vermenigvuldigen we zowel de teller als noemer met #100#. Dus in dit geval leidt een prijstoename van #10\%# tot een afname van #-31\%# van interesse in de veerpont. Deze afname is dus ongeveer drie keer groter dan de toename.
We kunnen kleinere verschillen nemen voor een nauwkeuriger benadering. Daartoe herschrijven we het quotiënt eerst als volgt:
Aangezien #\frac{d(p+\Delta p)-d(p)}{\Delta p}# het differentiequotiënt is, gaat dit als #\Delta p \to 0# naar #d'(p)#. De beste benadering krijgen we dan als de limiet: \[d'(p)\cdot\frac{p}{d(p)}=\left(2\cdot p-8\right)\cdot\dfrac{p}{p^2-8\cdot p+16}={{2\cdot p}\over{p-4}}\tiny.\] Vullen we hierin #p=2.50# in, dan krijgen we voor de relatieve afname van interesse in de veerpont #3.33#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.