Eigenschappen van de exponentiële functies

Bewerkingen met functies: Exponentiële functies en logaritmen

Eigenschappen van de exponentiële functies

Eigenschappen van de exponenten

Laat $a$ en $b$ twee positieve reële getallen zijn. De volgende rekenregels hebben betrekking op de exponentiële functies $a^x$ en $b^x$ .

1	$a^0=1$
2	$a^{x+y}=a^x\cdot a^y$
3	$a^{-x}=\frac{1}{a^x}=\left (\frac{1}{a} \right )^x$
4	$a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}$
5	$\left(a^x\right)^y = a^{x\cdot y}$
6	$(a\cdot b)^x = a^x\cdot b^x$
7	als $a\lt b$ en $x\gt 0$ , dan $a^x\lt b^x$
8	als $a\gt 1$ en $x\lt y$ , dan $a^x\lt a^y$

In het bijzonder, $a^x$ is stijgend als $a\gt1$ en dalend als $a\lt 1$ .

Deze regels volgen rechtstreeks uit de bekende rekenregels van de rekenkunde.

Bij wijze van voorbeeld gebruiken we de regels om aan te tonen waarom $a^x$ dalend is als $a\lt 1$ . Stel, $x$ en $y$ zijn reële getallen met $x\lt y$ . Dan geldt:

$\begin{array}{rcl}\left(\frac{1}{a}\right)^x&\lt& \left(\frac{1}{a}\right)^y\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{regel 8}}\\ \left(\frac{1}{a}\right)^x\cdot a^{x+y}&\lt& \left(\frac{1}{a}\right)^y\cdot a^{x+y}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{beide kanten vermenigvuldigd met hetzelfde positieve getal}}\\ {a}^{-x}\cdot a^{x+y}&\lt& {a}^{-y}\cdot a^{x+y}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{regel 3}}\\ a^{y}&\lt& a^{x}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{regel 2}} \end{array}$ Dit toont aan dat $a^x\gt a^y$ , en dus dat $a^x$ dalend is.

Hier zijn enkele voorbeelden:

1	$2^0=1$
2	$3^{x+y}=3^3\cdot 3^y$
3	$5^{-x}=\frac{1}{5^x}=\left (\frac{1}{5} \right )^x$
4	$4^{2}=\frac{4^5}{4^3}$
5	$\left(2^5\right)^6 = 2^{30}$
6	$6^x = 2^x\cdot 3^x$

Vereenvoudig de uitdrukking $a^4\cdot a^2$ .

$a^4\cdot a^2=$ $a^{6}$

Uit $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$ leiden we af: $a^4\cdot a^2=a^{4+2}=a^{6}$ .

Nieuw voorbeeld