Functies: Kwadratische functies
Vergelijking oplossen met ontbinden in factoren
Als we het linkerlid van de vergelijking #ax^2+bx+c=0# kunnen ontbinden in factoren, dan is de oplossing snel gevonden:
Als het linkerlid te ontbinden is in lineaire factoren: \[ ax^2+bx+c=(x-p)\cdot(x-q)\tiny,\] waarbij #p# en #q# reële getallen zijn, dan is de oplossing van de vergelijking #x=p\lor x=q#.
Hier is gebruik gemaakt van de volgende regel\[A\cdot B=0\]\[A=0\lor B=0\tiny,\] waarbij #A = x-p# en #B = x-q#:
\[\begin{array}{rcl}ax^2+bx+c&=&0\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{oorspronkelijke vergelijking}}\\ (x-p)\cdot(x-q)&=&0\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{linkerlid vervangen door ontbinding}}\\ x-p=0&\lor& x-q=0\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{bovengenoemde regel}}\\ x=p&\lor& x=q \\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{constanten naar rechts}}\\ \end{array}\]
We passen deze observatie toe in onderstaand voorbeeld.
\[x^2 -15 x+45=-x\]
Geef je antwoord in de vorm #x=a\lor x=b#, waarbij #a# en #b# getallen zijn.
Dit is in te zien door middel van onderstaande afleiding.
\[\begin{array}{rcl}
x^2-15 x+45&=&-x \\
&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{de oorspronkelijke vergelijking}}\\
x^2-14 x+45&=&0 \\
&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{alle termen naar links gebracht}}\\
(x-9)\cdot (x-5)&=&0 \\
&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{linker lid ontbonden in factoren}}\\
x-9=0 &\lor& x-5=0\\
&&\phantom{xxx}\color{blue}{A\cdot B=0 \text{ dan en slechts dan als }A=0\lor B=0}\\
x=9 &\lor& x=5\\
&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{constante termen naar rechts gebracht}}
\end{array}\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.