Loodrechte lijnen

Meetkunde: Lijnen

Loodrechte lijnen

We hebben al gezien dat twee loodrechte lijnen een hoek van $90^\circ$ of $\frac{\pi}{2}$ radialen met elkaar maken. Dit heeft gevolgen voor de richtingscoëfficiënten van twee loodrechte lijnen.

Loodrechte lijnen

Voor twee lijnen $\blue k$ en $\green l$ met richtingscoëfficiënten $rc_{\blue k}$ en $rc_{\green l}$ geldt:

$\begin{array}{c} rc_{\blue k} \cdot rc_{\green l}=-1 \\ \text{ dan en slechts dan als }\\ \text{lijn }\blue k \text{ en lijn } \green l \text{ loodrecht op elkaar staan}\end{array}$

Dit betekent dat als $rc_{\blue k} \cdot rc_{\green l}=-1$ , dan staan de lijnen loodrecht op elkaar.

Maar ook dat als de lijnen $\blue k$ en $\green l$ loodrecht op elkaar staan, dan geldt $rc_{\blue k} \cdot rc_{\green l}=-1$ .

We kunnen dit gebruiken om de vergelijking van een loodlijn $l$ , die door een punt $P$ gaat en loodrecht op een lijn $k$ staat, op te stellen.

Loodlijn opstellen

	Stappenplan	Voorbeeld
	We stellen een loodlijn $\green l$ op, die door een punt $P$ gaat en loodrecht op lijn $\blue k$ staat.	$\blue k: y=3x+5$ $P=\rv{3,2}$
Stap 1	Bepaal de richtingscoëfficiënt van lijn $\blue k$ .	$rc_{\blue k}=3$
Stap 2	Bepaal de richtingscoëfficiënt van lijn $\green l$ met de regel $rc_{\blue k} \cdot rc_{\green l}=-1$ .	$rc_{\green l}=-\frac{1}{3}$
Stap 3	De vergelijking van lijn $\green l$ heeft de vorm: $y=rc_{\green l} \cdot x+b$	$\green l: y=-\frac{1}{3}x+b$
Stap 4	Bepaal $b$ door de coördinaten van punt $P$ in te vullen en de ontstane vergelijking op te lossen.	$b=3$
Stap 5	Vul $b$ in de vergelijking uit stap 3 in.	$\green l: y=-\frac{1}{3}x+3$

Grafiek voorbeeld

In de grafiek staan lijn $l$ en lijn $k$ uit het voorbeeld. We zien dat ze inderdaad loodrecht op elkaar staan en dat lijn $l$ door $P=\rv{3,2}$ gaat.

Bepaal de vergelijking van een lijn $l$ loodrecht op lijn $k: y={{x}\over{9}}+{{5}\over{9}}$ door punt $P=\rv{3, -1}$ .

$l:$ $y=26-9\cdot x$

Stap 1	We lezen de richtingscoëfficiënt van lijn $k: y={{x}\over{9}}+{{5}\over{9}}$ af. Deze is gelijk aan ${{1}\over{9}}$ .
Stap 2	We bepalen nu de richtingscoëfficiënt van lijn $l$ met de regel: $rc_k \cdot rc_l=-1$ . Dat gaat als volgt: $\begin{array}{rcl}{{1}\over{9}} \cdot rc_l=-1 \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{regel loodrechte lijnen met }rc_k={{1}\over{9}}} \\ rc_l=\frac{-1}{{{1}\over{9}}} \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{beide zijden gedeeld door }{{1}\over{9}}} \\ rc_l=-9 \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{vereenvoudigd}} \end{array}$
Stap 3	Lijn $l$ heeft de vorm: $y=-9 \cdot x+b$ .
Stap 4	We vullen punt $P$ in om $b$ te bepalen. Dat geeft de vergelijking $-1=-9 \cdot 3+b$ We lossen deze lineaire vergelijking op voor $b$ en vinden dan $b=26$
Stap 5	We vullen de gevonden $b$ in de vergelijking uit stap $3$ in. Dat geeft: $l: y=26-9\cdot x$

Merk op dat als lijn $l$ in een andere vorm hebt geschreven dat ook goed is, mits de richtingscoëfficiënt van de lijn gelijk is aan $-9$ en de lijn door punt $P=\rv{3, -1}$ gaat.

Nieuw voorbeeld