Het begrip afgeleide

Differentiëren: De afgeleide

Het begrip afgeleide

De hellingsfunctie is een functie die voor elk punt $x$ aangeeft wat de helling in dat punt is, met andere woorden, een functie die aan een punt $x$ de richtingscoëfficient van de raaklijn toekent.

De hellingsfunctie

De helling van een functie $\blue{f}$ in een punt $a$ kunnen we berekenen door het differentiequotiënt te berekenen voor $[a,a+\orange{h}]$ en $\orange{h}$ naar nul te laten gaan, dit noteren we als volgt:

$\orange{h}\to0$

Als we het differentiequotiënt niet in een punt maar in een variabele $x$ bepalen dan krijgen we de hellingsfunctie van $\blue{f}$ . De hellingsfunctie noteren we met $\green{f'}$ .

Bij het voorbeeld rechts staat alleen bij de op een na laatste stap aangegeven $\orange{h} \to 0$ . dit hoort echter bij iedere stap te staan, maar we hebben het voor het gemak weggelaten.

Voorbeeld

$\begin{array}{rcl} \blue{f(x)}&=&\blue{x^2} \\ \green{f'(x)}&=&\dfrac{\blue{(}x+\orange{h}\blue{)^2}-\blue{x^2}}{\orange{h}}\\&=&\dfrac{\blue{x^2}+2x\cdot \orange{h}+\orange{h}^2-\blue{x^2}}{\orange{h}}\\&=&\dfrac{2x\cdot \orange{h}+\orange{h}^2}{\orange{h}}\\&=&2x+\orange{h} \quad \text{met} \quad \orange{h} \to 0\\&=& \green{2x} \end{array}$

We noemen de hellingsfunctie $f'$ de afgeleide van $f$ .

De afgeleide

De afgeleide van een functie $\blue{f}$ noteren we als $f'$ :

$f'(x)=\dfrac{\blue{f(}x+\orange{h}\blue{)}-\blue{f(}x\blue{)}}{\orange{h}} \quad \text{met} \quad \orange{h}\to 0$

De afgeleide van een functie $f$ berekenen noemen we het differentiëren van $f$ .

We kunnen niet iedere functie differentiëren. Functies waarvan de de afgeleide kunnen bepalen noemen we differentieerbaar. In deze cursus gaat het alleen over differentieerbare functies.

Als we $\frac{\dd}{\dd x}f$ of $\frac{\dd f}{\dd x}$ schrijven bedoelen we $f'$ . Deze drie schrijfwijzen betekenen hetzelfde.

plaatje

We kijken nu voornamelijk naar het afleiden van een functie van de vorm $f(x)=...$ . We kunnen ook natuurlijk functies afleiden met een andere variabele, zoals $g(t)$ of $h(y)$ . Dan krijgen we respectievelijk

$\begin{array}{rcl}f'(x)&=&\displaystyle\frac{\dd}{\dd x}\left(f(x)\right)\\ g'(t)&=&\displaystyle\frac{\dd}{\dd t}\left(g(t)\right)\\ h'(y)&=&\displaystyle\frac{\dd}{\dd y}\left(h(y)\right)\end{array}$

We kunnen dus de afgeleide berekenen door eerst het differentiequotiënt op een interval van lengte $\orange{h}$ te berekenen, en daarna $\orange{h}$ naar nul te laten gaan. De waarde die we hiermee verkrijgen is de helling van de grafiek in $x$ . Ofwel, de richtingscoëfficient van de raaklijn in het punt $x$ .

Een voorbeeld van een niet differentieerbare functie is de absolute waarde functie $\blue{f(x)}=\blue{\abs{x}}$ . Dit is de functie die de waarde $x$ aanneemt als $x$ groter of gelijk $0$ is, en de waarde $-x$ aanneemt als $x$ kleiner is dan $0$ .

Deze functie is niet differentieerbaar in het punt $0$ , omdat we geen eenduidige definitie voor de raaklijn hebben. In het plaatje zien we de functie $\blue{f(x)}=\blue{\abs{x}}$ en twee mogelijke raaklijnen getekend.

Plaatje

De afgeleide in een punt $a$ wordt dus gegeven door $f'(a)$ en wordt ook wel de afgeleide waarde in $a$ genoemd, of de afgeleide in $a$ . Dit is de helling van de de functie in het punt $a$ .

Bepaalde de afgeleide van de functie $f(x)={{x^2}\over{4}}$ .

$f'(x)={{x}\over{2}}$

Voor $h$ naar $0$ vinden we
$\begin{array}{rcl}f'(x)&=&\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\\\&&\phantom{xx}\blue{\text{definitie afgeleide}}\\&=&\displaystyle {{{{\left(h+x\right)^2}\over{4}}-{{x^2}\over{4}}}\over{h}}\\&&\phantom{xx}\blue{\text{functievoorschrift ingevuld}}\\&=&\displaystyle{{h}\over{4}}+{{x}\over{2}}\\&&\phantom{xx}\blue{\text{vereenvoudigd}}\\&=&\displaystyle {{x}\over{2}}\\&&\phantom{xx}\blue{h\text{ naar }0\text{ laten gaan}}\end{array}$

Nieuw voorbeeld