Stijgen en dalen

Differentiëren: Toepassingen van afgeleiden

Stijgen en dalen

Een functie $f$ is $\blue{\text{stijgend}}$ in $x$ als $f(x)$ groter wordt als $x$ groter wordt.

Een functie $f$ is $\green{\text{dalend}}\ (gestreept)$ in $x$ als $f(x)$ kleiner wordt als $x$ groter wordt.

In het voorbeeld zien we dat een functie ook kan stijgen en dalen. We zeggen dan dat de functie stijgt op het interval $\ivoo{-\infty}{6}$ en daalt op het interval $\ivoo{6}{\infty}$ .

plaatje

We kunnen nagaan of een functie stijgt of daalt in een punt $x$ door te kijken naar de afgeleide in dat punt.

Een functie $f$ $\blue{\text{stijgt}}$ in een punt $x$ als $f'(x)\gt 0$ .

Een functie $f$ $\green{\text{daalt}}$ in een punt $x$ als $f'(x)\lt 0$ .

Een functie $f$ kan overgaan van $\blue{\text{stijgend}}$ naar $\green{\text{dalend}}$ (en andersom) in een punt $p$ als $f'(p)=0$ .

Voorbeeld

$\begin{array}{rcll}f(x)&=&x^3-8x& \text{met } f'(x)=3x^2-8\\ f'(2)&=&4&\text{dus }f\blue{\text{ stijgt }}\text{in }x=2\\f'(1)&=&-5&\text{dus }f\green{\text{ daalt }}\text{in }x=1\end{array}$

Bepalen interval waarop functie stijgt/daalt

	Stappenplan	Voorbeeld
	We willen het interval of de intervallen bepalen waarop de functie $f$ $\blue{\text{stijgt}}$ .	$f(x)=\left(x-4\right)^2+6$
Stap 1	Bepaal de afgeleide van $f$ .	$f'(x)=2\left(x-4\right)$
Stap 2	Bepaal de nulpunten van de afgeleide.	$x=4$
Stap 3	Bepaal van punten links en rechts van de nulpunten of $f'$ positief of negatief is.	$f'(0)=-8$ en $f'(6)=4$
Stap 4	Bepaal nu het interval/de intervallen waarop $f$ stijgt. De functie $f$ stijgt als $f'(x) \gt 0$ .	$f$ $\blue{\text{stijgt}}$ op $\ivoo{4}{\infty}$

Op dezelfde wijze werkt dit ook voor de intervallen waarop $f$ $\green{\text{daalt}}$ , alleen dan moet gelden $f'(x)\lt0$ .

De functie $f(x)=-6x^2+7x-2$ is stijgend op het interval $\ivoo{-\infty}{a}$ en dalend op het interval $\ivoo{a}{\infty}$ . Wat is de waarde van $a$ ? Vereenvoudig je antwoord zo ver mogelijk.

$a=$ ${{7}\over{12}}$

Stap 1	We bepalen de afgeleide van $f$ met behulp van de machtsregel. Dat geeft: $f'(x)=-12x+7$
Stap 2	We lossen de vergelijking $-12x+7=0$ op. Dat gaat als volgt: $\begin{array}{rcl}-12x+7&=&0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{de op te lossen vergelijking}} \\ -12x&=&-7 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{beide zijden min }7} \\ x&=&\displaystyle {{7}\over{12}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{beide zijden gedeeld door }-12} \\\end{array}$
Stap 3	$f'(-1)=19$ $f'(3)=-29$
Stap 4	Dus de functie $f$ is stijgend op het interval $\ivoo{-\infty}{{{7}\over{12}}}$ en dalend op het interval $\ivoo{{{7}\over{12}}}{\infty}$ . Dus $a={{7}\over{12}}$ .

Hieronder staat de grafiek van $f$ getekend.

Nieuw voorbeeld