Snijpunten van een parabool met de assen

Kwadratische formules en vergelijkingen: Kwadratische formules tekenen

Snijpunten van een parabool met de assen

Snijpunten x-as

Het snijpunt van een kwadratische formule met de $x$ -as zijn de punten waar de $y$ -waarde van de formule gelijk is aan $0$ .

Daarom zijn de $x$ -coördinaten van de snijpunten met de $x$ -as van een kwadratische formule $y=ax^2+bx+c$ de oplossingen van de vergelijking:

$ax^2+bx+c=0$

We kunnen deze bepalen met behulp van ontbinden in factoren, kwadraatafsplitsen en/of de abc-formule.

Er zijn twee, één of geen snijpunten met de $x$ -as.

geogebra plaatje

Bekijk de kwadratische formule $y=2x^2+8x-10$ .

De $x$ -coördinaten van de snijpunten met de $x$ -as vinden we door het oplossen van de vergelijking:

$2x^2+8x-10=0$

Dit gaat als volgt:

$\begin{array}{rcl}2x^2+8x-10&=&0 \\ &&\phantom{xx}\blue{\text{de op te lossen vergelijking}}\\ x^2+4x-5&=&0 \\ &&\phantom{xx}\blue{\text{beide kanten gedeeld door }2}\\ \left(x+5\right) \left(x-1\right)&=&0 \\ &&\phantom{xx}\blue{\text{ontbonden in factoren}}\\x+5=0 &\lor& x-1=0 \\ &&\phantom{xx}\blue{A \cdot B \Leftrightarrow A=0 \lor B=0}\\x=-5 &\lor& x=1 \\ &&\phantom{xx}\blue{\text{constanten naar andere kant halen}} \end{array}$

De snijpunten van $y=2x^2+8x-10$ met de $x$ -as zijn dus $\rv{-5,0}$ en $\rv{1,0}$ .

Snijpunt met de y-as

Het snijpunt van een kwadratische formule met de $y$ -as is de waarde van de formule als $x=0$ .

In het algemeen bepalen we het snijpunt met de $y$ -as door $x=0$ te substitueren in de kwadratische formule.

In het bijzonder is het snijpunt met de $y$ -as van de kwadratische formule $y=\blue a x^2+\green b x +\purple c$ gelijk aan $\rv{0,\purple c}$ .

Er is altijd één snijpunt met de $y$ -as.

geogebra plaatje

Bekijk de kwadratische formule $y=2x^2+8x-10$ .

De $y$ -coördinaten van de snijpunten met de $y$ -as vinden we door het substitueren van $x=0$ in de formule.

$y=2 \cdot 0^2+8 \cdot 0 -10=-10$

Dus het snijpunt van $y=2x^2+8x-10$ met de $y$ -as is gelijk aan $\rv{0,-10}$

Bepaal de snijpunten met de assen van de formule

$y={{x^2}\over{5}}+5\cdot x$

Snijpunt met de $y$ -as: $\left\{\rv{0,0}\right\}$
Snijpunten met de $x$ -as: $\left\{\rv{-25,0}, \rv{0,0}\right\}$

We bepalen eerst het snijpunt met de $y$ -as. Er is altijd één snijpunt met de $y$ -as. Hierbij is de $y$ -waarde van het snijpunt met de $y$ -as gelijk aan de waarde die we vinden als we $x=0$ in de formule substitueren. Dat geeft:

$y={{0^2}\over{5}}+5\cdot 0=0$
Dus de coördinaten van het snijpunt met de $y$ -as zijn: $\rv{0,0}$ .

Vervolgens bepalen we de snijpunten met de $x$ -as.
De snijpunten met de $x$ -as zijn de punten waarvoor geldt $y=0$ .

$\begin{array}{rcl} {{x^2}\over{5}}+5\cdot x &=& 0 \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{de op te lossen vergelijking}}\\ {{1}\over{5}}\cdot x \cdot \left(x+25\right)&=&0\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{ontbinden in factoren}}\\ {{1}\over{5}}\cdot x=0 &\lor& x+25=0 \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{A \cdot B =0 \text{ dan en slechts dan als }A=0 \lor B=0}\\ x=0 &\vee& x=-25 \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{constante ter‍men naar de andere kant gehaald}}\\ \end{array}$
De coördinaten van de snijpunten met de $x$ -as zijn dus: $\rv{-25,0}$ en $\rv{0,0}$ .

Hieronder staat de grafiek, waarbij het snijpunt met de $y$ -as en de snijpunten met de $x$ -as rood gekleurd zijn.

Nieuw voorbeeld