Wortelvergelijkingen

Functies: Wortelfuncties

Wortelvergelijkingen

Hier zijn voorbeelden waarin een wortelvergelijking opgelost moet worden.

Los $x$ op in

$\sqrt{4x+5}=3$
Geef je antwoord als $x=x_1 \lor x=x_2 \lor \ldots \lor x=x_n$ , waarbij $x_1$ , $x_2$ , $\ldots$ $x_n$ zijn getallen en $n$ het aantal oplossingen is.

$x=1$

$\begin{array}{rcl}\sqrt{4x+5}&=&3 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{de op te lossen vergelijking}}\\ 4x+5&=&9 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{beide zijden gekwadrateerd}}\\ 4x&=& 4 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{beide zijden min }5}\\ x&=&1 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{beide zijden gedeeld door }4}\end{array}$

Nu controleren we de gevonden oplossing $x=1$ door deze in de vergelijking in te vullen:

$\sqrt{4 \cdot 1+5}=\sqrt{9}=3$
Dus de oplossing voldoet en dus is de oplossing van de vergelijking $x=1$ .

In het assenstelsel hieronder zien we de grafiek $f(x)=\sqrt{4x+5}$ in blauw (doorgetrokken) en $g(x)=3$ in groen (gestreept) en hun snijpunt $\rv{1,3}$ in rood.

Nieuw voorbeeld

In het algemeen kunnen we een wortelvergelijking oplossen met de onderstaande $4$ stappen.

Oplossen wortelvergelijking

	Stappenplan We lossen een wortelvergelijking in $x$ op.	Voorbeeld $\sqrt{x+4}+4=9$
Stap 1	Isoleer de wortel. Dat betekent dat we door middel van herleiden zorgen dat de wortel alleen komt te staan.	$\sqrt{x+4}=5$
Stap 2	Kwadrateer beide zijden om de wortel weg te werken.	$x+4=25$
Stap 3	Los de ontstane vergelijking op.	$x=21$
Stap 4	Controleer of de gevonden oplossing een oplossing van de oorspronkelijke vergelijking is.	$\sqrt{21+4}+4=9$ Dus de oplossing voldoet.

ControlerenHet controleren van de oplossing(en) is noodzakelijk, want door het kwadrateren kunnen er oplossingen ontstaan, die geen oplossingen van de oorspronkelijke vergelijking zijn. Dat zien we ook in het tweede voorbeeld bovenaan de pagina.

Los de onderstaande vergelijking op:

$2\cdot \sqrt{x}=\sqrt{4-3\cdot x}$
Geef je antwoord als

$geen$ als er geen oplossing is,
$x=x_1$ als er één oplossing is,
$x=x_1\lor x=x_2$ als er twee oplossingen zijn,

met de juiste waarden voor $x_1$ en $x_2$ .

$x={{4}\over{7}}$

$\begin{array}{rcl} 2\cdot \sqrt{x}&=& \sqrt{4-3\cdot x}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{oorspronkelijke vergelijking}}\\ 4\cdot x&=&4-3\cdot x \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{beide kanten gekwadrateerd}} \\ 7\cdot x&=&4 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{ter‍men met }x \text{ naar links, constante ter‍men naar rechts}} \\ x&=&{{4}\over{7}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{gedeeld door de coëfficiënt van }x} \\ \end{array}$

Omdat we gekwadrateerd hebben, is de gevonden oplossing voor $x$ mogelijk geen oplossing van de oorspronkelijke vergelijking. Daarom moeten we de gevonden oplossing nu controleren door hem in te vullen in de oorspronkelijke vergelijking.

Aan de linker kant staat:

$2\cdot \sqrt{{{4}\over{7}}}={{4}\over{\sqrt{7}}}$
Aan de rechter kant staat:

$\sqrt{4-3\cdot \left({{4}\over{7}}\right)}={{4}\over{\sqrt{7}}}$
Links en rechts zijn gelijk, dus deze oplossing is correct.

De oplossing van de vergelijking is dus $x={{4}\over{7}}$ .

Nieuw voorbeeld