Funciones exponenciales y logaritmos: The base e and the natural logarithm
La base e y el logaritmo natural
El número #\euler\approx 2.71828182846\ldots#, también llamado número de Euler, es un número importante en matemáticas que tiene bastantes propiedades especiales, como verás más adelante en el capítulo de diferenciación. Hay varias definiciones para #\e#, aquí daremos una.
El número de Euler definido por una suma de términos infinitos:
\[
1+\frac{1}{1} + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \ldots = \orange{\e}
\]
El número #\e# puede ser utilizado como la base en una expresión exponencial, #\e^n#, entonces usamos las reglas para exponentes.
Podemos tomar el número #\e# como la base de un logaritmo. Este logaritmo se llama logaritmo natural y se denota por #\ln#.
El logaritmo natural
El logaritmo natural es
\[\ln(\blue{x})=\log_\orange{\e}(\blue{x})\]
Ejemplo
\[\begin{array}{rcl}\\ \ln(\orange{\e}^\blue{x})&=&\blue{x}\\ \end{array}\]
Con el logaritmo natural usamos las mismas reglas que con otros logaritmos. Reescribir a diferentes bases numéricas se hace de la misma manera con el logaritmo natural.
Reescribe la siguiente expresión y simplifica en la medida de lo posible.
\[\ln(7)\cdot\log_7(\e)\]
#\begin{array}{rcl}\ln(7)\cdot\log_7(\e)&=&\ln(7)\cdot\dfrac{\ln(\e)}{\ln(7)}\\
&&\phantom{xxx}\blue{\log_a\left(x\right)=\dfrac{\log_b\left(x\right)}{\log_b\left(a\right)}}\\
&=&\ln\left(\e\right)\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{se simplifica}}\\
&=&1\\
&&\phantom{xxx}\blue{\ln(\e)=1}
\end{array}#
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