Perforaties en andere discontinuïteiten

Functies: Limieten en asymptoten

Perforaties en andere discontinuïteiten

We hebben gezien dat er voor sommige breukfuncties waarden zijn waarvoor de teller en de noemer beide gelijk zijn aan nul. In sommige gevallen zijn dergelijke waarden perforaties van de functie. Door ze te berekenen, krijgen we inzicht in hoe de functie eruitziet zonder de volledige grafiek van de functie te hoeven tekenen. We geven eerst een algemene definitie van een perforatie.

De functie $f(x)$ heeft een perforatie in $x=\orange{a}$ als $\phantom{\frac{g(x)}{h(x)}}$ $\lim_{x\downarrow \orange{a}} f(x) = \lim_{x\uparrow \orange{a}} f(x)$ beide limieten eindig zijn en $f(\orange{a})$ niet gedefinieerd is.

Voorbeeld
Laat $f(x)=\frac{x^2+x-2}{x+2}$ . Er geldt $\lim_{x\downarrow \orange{-2}} f(x) = -3 \text{ en } \lim_{x\uparrow \orange{-2}} f(x) = -3$ en de noemer van $f(x)$ is nul in $x=\orange{-2}$ , dus $f(\orange{a})$ is niet gedefinieerd. $f(x)$ heeft dus een perforatie in $x=\orange{a}$ .

Ophefbare discontinuïteit
In diverse literatuur wordt een perforatie soms een ophefbare discontinuïteit genoemd, ook al is de definitie van ophefbare discontinuïteit een uitbreiding van die van een perforatie. Verdere theorie over (dis)continuïteit valt buiten het bestek van deze cursus.

Indien f(a) gedefinieerd is
Als $\lim_{x\downarrow \orange{a}} f(x) = \lim_{x\uparrow \orange{a}} f(x)$ en $f(\orange{a})$ gedefinieerd is, zijn er twee mogelijkheden. Ofwel $\lim_{x\downarrow \orange{a}} f(x) = \lim_{x\uparrow \orange{a}} f(x)= \lim_{x\to \orange{a}} f(x)=f(\orange{a}),$ zoals het voorbeeld aan de linkerkant, of $\lim_{x\downarrow \orange{a}} f(x) = \lim_{x\uparrow \orange{a}} f(x)\neq \lim_{x\to \orange{a}} f(x),$ zoals het voorbeeld aan de rechterkant.

Voorbeeld
$f(x)=x$ in $x=\orange{1}$ . $\phantom{\begin{cases} i\\ i \end{cases}}$

GeoGebra

Voorbeeld
$f(x)=\begin{cases} x & x\neq 1\\ 0 & x=1 \end{cases}$ in $x=\orange{1}$ .

GeoGebra

In geen van beide gevallen hebben we te maken met een perforatie. We hebben echter te maken met een ophefbare discontinuïteit in het rechtse voorbeeld.

Beide grenzen eindig
We hebben de voorwaarde nodig dat $\lim_{x\downarrow \orange{a}} f(x) = \lim_{x\uparrow \orange{a}} f(x)$ eindig is. Als ze in plaats daarvan oneindig zijn, hebben we te maken met een verticale asymptoot in $x=\orange{a}$ in plaats van een perforatie.

Voor breukfuncties zijn perforaties vrij eenvoudig te vinden.

Laat $f(x)=\frac{\blue{g(x)}}{\green{h(x)}}$ . Als er een waarde $\orange{a}$ is zodanig dat $\blue{g(}\orange{a}\blue{)}=\green{h(}\orange{a}\green{)}=0$ dan heeft $f(x)$ een perforatie in $x=\orange{a}$ .

Voorbeeld
Laat nogmaals $f(x)=\frac{\blue{g(x)}}{\green{h(x)}}=\frac{\blue{x^2+x-2}}{\green{x+2}}$ . Aangezien $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$ , geldt er dat $\blue{g(}\orange{-2}\blue{)}=\green{h(}\orange{-2}\green{)}=0,$ dus $f(x)$ heeft een perforatie in $x=\orange{-2}$ .

Functie niet gedefinieerd
Merk op dat als $\orange{a}$ een perforatie is van $f(x)$ , dan is de noemer van $f(x)$ gelijk aan nul in $x=\orange{a}$ , en dus is $f(x)$ inderdaad niet gedefinieerd in $x=\orange{a}$ .

Grafiek
De grafiek van de functie $f(x)=\frac{\blue{g(x)}}{\green{h(x)}}=\frac{\blue{x^2+x-2}}{\green{x+2}}$ wordt weergegeven in de volgende afbeelding. We zien dat er inderdaad een perforatie optreedt in $x=\orange{-2}$ .

GeoGebra

Uitzonderingen
Vanwege de vereiste dat $\lim_{x\downarrow \orange{a}} f(x) = \lim_{x\uparrow \orange{a}} f(x)$ eindig moet zijn, zijn er enkele gevallen waar geldt dat $\blue{g(}\orange{a}\blue{)}=\green{h(}\orange{a}\green{)}=0$ , maar waar een verticale asymptoot optreedt in $x=\orange{a}$ in plaats van een perforatie. Dit soort functies vallen buiten het bestek van deze cursus.

Als de linker- en rechtergrens op een bepaald punt niet gelijk zijn, hebben we te maken met een ander soort discontinuïteit.

De functie $f(x)$ heeft een sprongdiscontinuïteit in $x=\orange{a}$ als $\lim_{x\downarrow \orange{a}} f(x) \neq \lim_{x\uparrow \orange{a}} f(x)$ en zowel $\lim_{x\downarrow \orange{a}} f(x)$ als $\lim_{x\uparrow \orange{a}} f(x)$ eindig zijn.

Voorbeeld

GeoGebra

Andere namen
Een sprongdiscontinuïteit kan ook wel een stapdiscontinuïteit of een discontinuïteit van de eerste soort worden genoemd.

Linker/rechter grens is oneindig
Er zijn drie soorten discontinuïteiten. We hebben er al twee gezien, namelijk perforaties (ook wel ophefbare discontinuïteiten genoemd) en sprongdiscontinuïteiten. Het derde type discontinuïteiten wordt essentiële discontinuïteiten genoemd.

Een functie $f(x)$ heeft een essentiële discontinuïteit in $x=\orange{a}$ als ten minste één van $\lim_{x\downarrow \orange{a}} f(x)$ of $\lim_{x\uparrow \orange{a}} f(x)$ oneindig is.

Voorbeeld

GeoGebra

Een wezenlijke discontinuïteit kan ook wel een oneindige discontinuïteit of een discontinuïteit van de tweede soort worden genoemd.

Beschouw de functie $f(x)={{x^3+4 x ^2-9 x -36}\over{x^3-5 x ^2-9 x +45}}$ Vind alle perforaties van deze functie, als die er zijn.

In $x=-3$ en $x=3$ heeft $f(x)$ perforaties.

Het antwoord is als volgt te vinden.
$\begin{array}{rcl} \displaystyle f(x) &=& \displaystyle {{x^3+4 x ^2-9 x -36}\over{x^3-5 x ^2-9 x +45}} \\ && \qquad \blue{\text{functievoorschrift voor } f(x) \text{ gebruikt}}\\ &=& \displaystyle \frac{(x+3)\cdot(x-3)\cdot (x+4)}{(x+3)\cdot(x-3)\cdot(x-5)}\\ && \qquad\blue{\text{teller en noemer ontbonden in factoren}} \end{array}$
We zien dat de teller gelijk is aan nul in $x=-3$ , $x=3$ en $x=-4$ . De noemer is gelijk aan nul in $x=-3$ , $x=3$ en $x=5$ . Dus zowel de teller als de noemer zijn gelijk aan nul in $x=-3$ en $x=3$ . Dit betekent dat $f(x)$ twee perforaties heeft, namelijk in $x=-3$ en $x=3$ .

Nieuw voorbeeld