Rekenregels voor primitiveren

Integreren: Primitieven

Rekenregels voor primitiveren

We kunnen net als bij differentiëren een somregel en constanteregel voor primitiveren geven.

Voor functies $\blue f$ en $\purple g$ geldt:

$\begin{array}{c} \displaystyle \int \blue{f(x)}+\purple{g(x)} \; {\dd}x = \displaystyle \int \blue{f(x)}\;{\dd}x + \int \purple{g(x)}\;{\dd}x \end{array}$

Voorbeeld

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \blue{2x} + \purple{4} \; {\dd}x &=& \displaystyle \int \blue{2x} \;{\dd}x + \int \purple{4} \;{\dd}x \\ &=& x^2 + 4x + \green {C} \end{array}$

Één integratieconstante

Merk op dat we in het eindantwoord maar één integratieconstante $\green C$ gebruiken. Wanneer we de onbepaalde integralen in de tussenstap uitwerken, krijgen we twee integratieconstanten.

Alleen deze integratieconstanten kunnen we samennemen tot één nieuwe integratieconstante. Dat is waarom we in het eindantwoord maar één integratieconstante hebben.

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \blue{2x} + \purple{4} \; {\dd}x &=& \displaystyle \int \blue{2x} \;{\dd}x + \int \purple{4} \;{\dd}x \\ \\ &=& x^2 + \green{C_1}+ 4x + \green {C_2} \\ \\ &=& x^2 + 4x + \green {C} \end{array}$

Voor een functie $\blue f$ en een constante $\orange c$ geldt:

$\begin{array}{c} \displaystyle \int \orange c \cdot \blue{f(x)} \; {\dd}x = \orange c\cdot \displaystyle \int \blue{f(x)}\;{\dd}x \end{array}$

Voorbeeld

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \orange{9} \cdot \blue{x^2} \; \dd x &=& \orange{9} \cdot\displaystyle \int \blue{x^2} \; \dd x \\ &=& 9 \cdot \frac{1}{3}x^3 +\green C \\ &=& 3x^3+\green C \end{array}$

Één integratieconstante

Merk op dat we in het eindantwoord de integratieconstante $\green C$ gebruiken en niet $\orange c \cdot \green C$ nemen. We kunnen dit namelijk samennemen tot één nieuwe integratieconstante.

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \orange{9} \cdot \blue{x^2} \; \dd x &=& \orange{9} \cdot\displaystyle \int \blue{x^2} \; \dd x \\ &=& 9 \cdot \frac{1}{3}x^3 +\orange9 \cdot \green{C_1} \\ &=& 3x^3+\green C \end{array}$

Bepaal een primitieve $F$ van de functie $f$ gegeven door $f(x)=$ $2\cdot x^8+4\cdot x^5$ .

$F(x)=$ ${{2\cdot x^9}\over{9}}+{{2\cdot x^6}\over{3}}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int 2\cdot x^8+4\cdot x^5 \dd x &=&\displaystyle \int 2 \cdot x^{8}\, \dd x + \int 4 \cdot x^5\, \dd x\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{regel }\displaystyle \int f(x) + g(x) \, \dd = \int f(x) \, \dd x + \int g(x) \, \dd x}\\ &=&\displaystyle 2 \cdot \int x^{8}\, \dd x + 4 \cdot \int x^5 \, \dd x\\ &&\phantom{xxx}\displaystyle \blue{\text{tweemaal de regel }\int c\cdot f(x)\,\dd x = c \cdot \int f(x) \, \dd x}\\ &=&\displaystyle \frac{2}{8+1}\cdot x^{8+1}+\frac{4}{5+1}\cdot x^{5+1}\\ &&\displaystyle \phantom{xxx}\blue{\text{tweemaal de regel }\int x^{n} \; \dd x = \displaystyle\frac{1}{n+1} x^{n+1} + C}\\ &=&\displaystyle {{2\cdot x^9}\over{9}}+{{2\cdot x^6}\over{3}}+C\\ &&\displaystyle\phantom{xxx}\blue{\text{vereenvoudigd}} \end{array}$

Omdat er maar om één primitieve gevraagd wordt, kunnen we nu $C=0$ kiezen. Dat geeft:
$F(x)={{2\cdot x^9}\over{9}}+{{2\cdot x^6}\over{3}}$

Nieuw voorbeeld