De exponentiële functie en logaritme

Inleiding tot differentiëren: Afgeleiden van exponentiële functies en logaritmen

De exponentiële functie en logaritme

Een exponentiële functie is de representatie van een exponentieel groeiproces. Haar afgeleide geeft de groei van dat proces. Een karakteristieke eigenschap van exponentiële groei is:

Exponentiële groei

We zeggen dat een hoeveelheid exponentieel groeit als de groeisnelheid op ieder moment evenredig met de waarde van de hoeveelheid op dat moment.

Als een hoeveelheid op tijdstip $t$ gegeven wordt door een constant veelvoud ongelijk aan $0$ van een exponentiële functie: $f(t)=b \cdot a^t$ , voor gegeven reële getallen $a$ en $b$ met $a\gt0$ , dan geldt: $f'(t)=c \cdot f(t)\tiny,$ waarbij $c$ een reëel getal is dat voldoet aan:

$\begin{array}{rcl}c\lt0&\text{ als }&0 \lt a \lt 1\\ c=0&\text{ als }& a=1\\ c\gt0 &\text{ als }& a\gt1\end{array}$

In het bijzonder groeit $f$ dan exponentieel.

De stelling geldt voor alle reële (dus ook negatieve) waarden van $t$ . Deze eigenschap kan begrepen worden door te kijken naar de afgeleide van de exponentiële functie $f(t)=b\cdot a^{t}$ . Daartoe bepalen we eerst het differentiequotiënt van $f$ in $t$ met verschil $h$ :

$\begin{array}{rcl} \dfrac{\Delta f}{\Delta t} &=& \dfrac{f(t+h)-f(t)}{h} \\ &&\phantom{x}\color{blue}{\text{definitie van }\Delta}\\ &=& \dfrac{b\cdot a^{t+h}-b\cdot a^{t}}{h} \\&&\phantom{x}\color{blue}{\text{functievoorschriften }f(t)\text{ en }f(t+h) \text{ ingevuld}}\\ &=& b\cdot a^t \cdot \dfrac{ a^h-1}{h}\\ &&\phantom{x}\color{blue}{b\cdot a^t \text{ voor breuk geplaatst}}\\\end{array}$ Voor $h \to 0$ gaat dit differentiequotiënt naar de afgeleide van $f$ in $t$ : $\begin{array}{rcl}f'(t)&=&\lim_{h \to 0}\left(b\cdot a^t \cdot \dfrac{a^h-1}{h}\right)\\&=&b\cdot a^t \cdot\lim_{h \to 0}\frac{a^h-1}{h}\\ &=& f(t)\cdot c\\&=& c\cdot f(t)\end{array}$ waarbij $c=\lim_{h \to 0}\dfrac{a^h-1}{h}$ een getal is dat alleen van $a$ afhangt. Dit laat inderdaad zien dat $f'(t)=c \cdot f(t)$ . De waarde voor $c$ is gegeven door $c=\lim_{h \to 0}\dfrac{a^h-1}{h}=g'(0)$ , waarbij $g(t)=a^t$ .

Voor $0\lt a\lt 1$ is de functie $g$ dalend, zodat $g'(0)\lt0$ , dus $c\lt0$ .
Voor $a=1$ is de functie $g$ constant, zodat $g'(0)=0$ , dus $c=0$ .
Voor $a\gt1$ is de functie $g$ stijgend, zodat $g'(0)\gt0$ , dus $c\gt0$ .

Dit bewijst het laatste deel van de stelling.

Aangezien

$c$ groter wordt als $a$ toeneemt,
$c\lt1$ als $a=2$ en
$c\gt1$ als $a=3$ ,

ontstaat de verwachting dat er een grondtal is tussen $2$ en $3$ waarvoor de constante $c$ precies $1$ is. Dit getal bestaat inderdaad:

Het getal van Euler

Er bestaat een getal $\e$ , zodat $\lim_{h \to 0}\dfrac{\e^h-1}{h}=1$ . Dit is het getal van Euler, dat genoteerd wordt als $\e$ . Het is een reëel getal dat benaderd wordt door $\e\approx 2.71828182846\tiny.$

Het bewijs kan geleverd worden door eerst vast te stellen dat $c$ , als functie van $a$ , continu is en vervolgens de middelwaardestelling toe te passen.

Natuurlijke exponentiële en logaritmische functie

Met $\exp$ geven we de exponentiële functie aan: $\exp(x) = {\e}^x$ .

Met $\ln$ geven we de inverse functie van $\exp$ aan.

De functie $\exp$ heet wel de natuurlijke exponentiële functie en $\ln$ de natuurlijke logaritme.

Als $a$ een positief reëel getal is, dan is de functie $a^x$ gelijk aan $\e^{\ln(a)\cdot x}$ . Deze functie heeft bereik $\ivoo{0}{\infty}$ en heeft als inverse $\log_a(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}\tiny.$

De functie $\log_a$ heet de logaritme met grondtal $a$ .

De functie $\exp$ is strikt stijgend en heeft bereik $\ivoo{0}{\infty}$ ; daarom is deze functie injectief: elk positief reëel getal is de waarde $\exp(x)$ van precies één $x$ . Hieruit volgt weer dat de inverse functie van $\exp$ gedefinieerd is op het domein $\ivoo{0}{\infty}$ .

De gelijkheid $a^x=\e^{\ln(a)\cdot x}$ volgt uit $\e^{\ln(a)\cdot x}=\left(\e^{\ln(a)}\right)^{x}=a^x\tiny.$

Het feit dat $\log_a(x)$ de inverse is van $a^x$ volgt uit $a^{\log_a(x)}=a^{\frac{\ln(x)}{\ln(a)}}=\e^{\ln(a)\cdot \frac{\ln(x)}{\ln(a)}}=\e^{\ln(x)}=x\tiny.$

Hier is de grafiek van de functie $\log_a$ . De waarden van $a$ kunnen door middel van een slider gevarieerd worden.