De abc-formule

Functies: Kwadratische functies

De abc-formule

Door kwadraat af te splitsen kunnen we de kwadratische uitdrukking $ax^2+bx+c$ herschrijven tot

$a\cdot\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4a\cdot c}{(2a)^2}\right)\tiny.$ We gebruiken deze splitsing om kwadratische vergelijkingen op te lossen.

Discriminant en abc-formule

Laat $a$ , $b$ , $c$ reële getallen zijn met $a\ne0$ . De vergelijking $ax^2+bx+c=0$ kan herleid worden tot

$x=\dfrac{-b - \sqrt{b^2-4a\cdot c}}{2a}\lor x=\dfrac{-b+ \sqrt{b^2-4a\cdot c}}{2a}$
De uitdrukking $b^2-4ac$ noemen we de discriminant van $ax^2+bx+c$ , en duiden we vaak aan met $D$ .

Met deze notatie geldt

$x=\dfrac{-b - \sqrt{D}}{2a}\lor x=\dfrac{-b+ \sqrt{D}}{2a}$

Als $D\lt 0$ , dan zijn er geen oplossingen.
Als $D= 0$ , dan is er dus maar één oplossing: $x=\dfrac{-b}{2a}$ .
Als $D\gt 0$ , dan zijn er twee oplossingen.

Bovenstaande noemen we ook wel de abc-formule. Met deze formule is elke tweedegraads vergelijking op te lossen.

De herleiding gaat als volgt:

$\begin{array}{rcl}ax^2+bx+c&=&0\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{de oorspronkelijke vergelijking}}\\ a\cdot\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{D}{(2a)^2}\right)&=&0\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{kwadraat afgesplitst, waarbij }D = b^2-4a\cdot c}\\ \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{D}{(2a)^2}&=&0\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{links en rechts door }a\text{ gedeeld}}\\ \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2&=&\dfrac{D}{(2a)^2}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{constante term naar rechts gebracht}}\\ x+\dfrac{b}{2a}&=&\pm\sqrt{\dfrac{D}{(2a)^2}}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{wortel getrokken; }\pm\text{betekent: }+\text{ of }-}\\ x+\dfrac{b}{2a}&=&\pm\dfrac{\sqrt{D}}{2a}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{wortel vereenvoudigd}}\\ x&=&-\dfrac{b}{2a}\pm\dfrac{\sqrt{D}}{2a}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{constante term naar rechts gebracht}}\\ \end{array}$

De abc-formule gebruiken we om de snijpunten van een parabool met de $x$ -as te bepalen. Wat betekent dit voor de drie gevallen die we net hebben gezien? We bekijken nu steeds een dalparabool.

Als $D\gt0$ , dan wordt de wortel getrokken uit een positief getal, zodat de vergelijking $ax^2+bx+c=0$ twee verschillende oplossingen heeft. De parabool, dat wil zeggen: de grafiek van $ax^2+bx+c$ , heeft $2$ snijpunten heeft met de $x$ -as.

Als $D\lt0$ , dan zijn er geen oplossingen, omdat worteltrekken uit een negatief getal geen reëel getal oplevert. De parabool heeft dan geen snijpunten met de $x$ -as.

Als $D= 0$ , dan zijn beide oplossingen gelijk en is er dus maar één oplossing: $x=\dfrac{-b}{2a}$ . Hier raakt de parabool de $x$ -as.

Los $x$ op in

$3 x^2-12 x-36=0$

Geef je antwoord in de vorm $x=a\lor x=b$ .

$x=-2\lor x=6$

Maak gebruik van de abc-formule:

$x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\lor x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$
met discriminant $D=b^2-4a\cdot c$ .

$\begin{array}{rcl} a=3&b=-12&c=-36\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{a, b en c bepaald}}\\ (-12)^2-4\cdot 3\cdot -36&=&576\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{discriminant berekend}}\\ x=\frac{12-24}{6}&\lor&x=\frac{12+24}{6}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{abc-formule gebruikt}}\\ x=-2&\lor&x=6\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{oplossing vereenvoudigd}}\\ \end{array}$
De grafiek van de functie $3 x^2-12 x-36$ is hieronder getekend. De $x$ -coördinaten van de snijpunten van de grafiek met de $x$ -as zijn de oplossingen van de vergelijking.

Nieuw voorbeeld