Het begrip veelterm

Functies: Veeltermen

Het begrip veelterm

Veelterm

Een veelterm (ook wel polynoom genoemd) is een uitdrukking van de vorm:

$a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots + a_nx^n\tiny,$

waarbij $a_0$ , $a_1$ , $a_2,\ldots,a_n$ getallen (de coëfficiënten van de veelterm) zijn en $x$ de variabele is.

Als $a_n\ne0$ , dan heet $n$ de graad van de veelterm. Het getal $a_n$ heet dan de leidende coëfficiënt van de veelterm.

Bij wijze van afspraak geven we de veelterm $0$ de graad $-1$ .

Bovenstaande veelterm definieert een functie $f$ met voorschrift

$f(x) =a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots + a_nx^n\tiny.$ Zo'n functie wordt een veeltermfunctie genoemd.

Als $f$ een veeltermfunctie is van graad ten hoogste $n$ , dan kunnen we het veeltermvoorschrift vinden uit kennis van de waarden $f(x_0), f(x_1),\ldots,f(x_n)$ van $f$ in $n+1$ onderling verschillende punten $x_0, x_1,\ldots,x_n$ . Dit zullen we later bewijzen.

De graad van $0$ verschilt van de graad van elke andere constante. Hier is een verklaring: de leidende coëfficiënt van de veelterm $3$ is gelijk aan $3$ omdat het de coëfficiënt is van $x^0$ , de hoogste macht die in de veelterm voorkomt, die ongelijk nul is. Voor $0$ in plaats van $3$ , gaat die uitspraak niet op.

Wat is de graad van de veeltermfunctie $f(x)=12$ ?

De graad van de functie $f(x)=12$ is gelijk aan $0$ . Veeltermfunctie van graad $0$ en graad $-1$ worden ook wel constantes genoemd.
De bijbehorende grafiek is een rechte lijn op hoogte $y=12$ .

Nieuw voorbeeld

In het algemeen is het vinden van de nulpunten van een polynoom, dat wil zeggen het oplossen van de vergelijking

$a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots + a_nx^n =0$ erg moeilijk. We hebben de abc-formule, die de nulpunten van een kwadratische functie geeft. Voor polynomiale functies van graad 3 bestaat er net zoiets, namelijk de formule van Cardano. Ook voor polynomiale functies van graad 4 bestaat er een formule die alle nulpunten van de vierdegraadsvergelijking geeft in termen van de coëfficiënten. Het werd aangetoond (door Abel en onafhankelijk door Galois) dat er voor vijfdegraadsvergelijkingen en hoger niet zo'n formule bestaat. (Dat betekent niet dat we de nulpunten van zo'n vergelijking niet kunnen vinden. Dat kan wel. Maar deze oplossingen kunnen niet verkregen worden door één enkele formule).