Differentiaalvergelijkingen en Lineaire algebra: Laplace-transformaties
Transferfuncties en responsfuncties
Wij vatten het gebruik van de Laplace-transformatie samen door een algemene methode te beschrijven om specifieke oplossingen te vinden van tweede orde lineaire vergelijkingen met constante coëfficiënten lossen.
Beschouw het beginwaardenprobleem \[a\cdot x''+b\cdot x'+c\cdot y = g(t)\qquad\text{ met }\qquad x(0) = x_0\quad \text{ and }\quad x'(0)=x'_0\] Laat
- \(H(s) = \frac{1}{a\cdot s^2+b\cdot s+c}\), de overdracht van de functie, zijn en
- \(h=\mathcal{L}^{-1}(H)\) de impuls-respons functie van het beginwaardenprobleem.
In termen van deze functies is de oplossing van bovenstaand beginwaardenprobleem de som van de volgende twee functies:
- de geforceerde respons: de convolutie \(g\ast h\); het is de oplossing van het beginwaardenprobleem \(a\cdot x''+b\cdot x'+c\cdot y = g(t)\) met \( x(0)=x'(0)=0\)
- de vrije respons: \( \mathcal{L}^{-1}\left(H(s)\cdot\left((a\cdot s+b)\cdot x_0+a\cdot x_0'\right)\right)\); het is de oplossing van het beginwaardenprobleem \(a\cdot x''+b\cdot x'+c\cdot y = 0\) met \(x(0)=x_0\) en \(x'(0)=x_0'\)
Het voorbeeld hieronder laat zien hoe de hierboven beschreven overdracht- en de responsfuncties helpen bij het oplossen van een tweede-orde lineaire beginwaardenprobleem.
\[ {{d^2}\over{d t^2}} x-13 {{d}\over{d t}} x+40 x=0\qquad \text{ met }\qquad x(0)=0\ \text{ en }\ x'(0)=2\]
\(x(t)=\) \( {{2\cdot \euler^{8\cdot t}-2\cdot \euler^{5\cdot t}}\over{3}} \)
We beginnen met het bepalen van de overdrachtsfunctie #H(s)# van het beginwaardenprobleem. Per definitie van de transferfunctie geldt
\[\begin{array}{rcl}
H(s) &=&\dfrac{1}{as^2+bs+c}\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{als }a,\ b,\ c\ \text{zconstanten zijn, zo dat de GDV de vorm}}\\
&&\phantom{xx1234567891011}\color{blue}{ax''+bx'+cx = g(t)\text{ heeft}}\\
&=&\displaystyle {{1}\over{s^2-13 s+40}}
\end{array}\]
Dus \(H(s) =\) \( {{1}\over{s^2-13 s+40}} \).
Vervolgens bepalen we de impuls-responsfunctie \(h(t)\) van dit probleem. Per definitie van de impulse-responsefunctie en de inverse Laplace-transformaties van rationale functies geldt
\[\begin{array}{rcl}
h(t) &=&\mathcal{L}^{-1}(H(s))(t)\\
&=&\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\left({{1}\over{s^2-13 s+40}}\right)(t)\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{uitdrukking gevinden voor }H(s)\text{ ingevuld}}\\
&=&\displaystyle {{\euler^{8\cdot t}}\over{3}}-{{\euler^{5\cdot t}}\over{3}}\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{de inverse Laplace-getransformeerde van een rationale functie}}\\
\end{array}\]
Dus \(h(t) =\) \( {{\euler^{8\cdot t}}\over{3}}-{{\euler^{5\cdot t}}\over{3}} \).
De Laplace-getransformeerde van de vrije respons is
\[H(s)\cdot\left((a\cdot s+b)\cdot x_0+a\cdot x_0'\right) = {{2}\over{s^2-13\cdot s+40}}\]
De vrije respons zelf is de inverse Laplace-getransformeerde van deze functie:
\[ \mathcal{L}^{-1}\left(H(s)\cdot\left((a\cdot s+b)\cdot x_0+a\cdot x_0'\right)\right) = {{2\cdot \euler^{8\cdot t}}\over{3}}-{{2\cdot \euler^{5\cdot t}}\over{3}}\]
Met het oog op de bepaling van de gedwongen respons, berekenen we het volgende convolutieproduct:
\[\begin{array}{rcl} (g\ast h)(t) &=&\displaystyle \int_0^t h(\tau)\cdot g(t-\tau)\,\dd \tau\\
&=&\displaystyle \int_0^t 0\,\dd \tau\\
&=&\displaystyle 0
\end{array}\]
Door de vrije en gedwongen reactie op te tellen, vinden we de oplossing van het IVP:
\[\begin{array}{rcl} x(t)& =& \displaystyle {{2\cdot \euler^{8\cdot t}}\over{3}}-{{2\cdot \euler^{5\cdot t}}\over{3}}+0\\ &=& \displaystyle {{2\cdot \euler^{8\cdot t}-2\cdot \euler^{5\cdot t}}\over{3}}\end{array}\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.