Opspansels

Vectorruimten: Opspansels

Opspansels

Bij elk stel vectoren van een vectorruimte bestaat een kleinste lineaire deelruimte die alle vectoren van het stel bevat. Deze lineaire deelruimte kan omschreven worden als de verzameling van alle lineaire combinaties van vectoren uit het stelsel en heet wel het opspansel. Hieronder behandelen we de begrippen lineaire combinatie en opspansel.

Laat $n$ een natuurlijk getal zijn en laat $\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_n$ een $n$ -tal vectoren zijn in een vectorruimte $V$ .

Een vector $\vec{x}$ van $V$ heet een lineaire combinatie van $\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_n$ als er scalairen $\lambda_1,\ldots ,\lambda_n$ bestaan zodanig dat $\vec{x} =\lambda_1 \cdot\vec{a}_1 +\lambda_2 \cdot\vec{a}_2 +\cdots +\lambda_n\cdot \vec{a}_n$
We zeggen dan ook wel dat de vector $\vec{x}$ (lineair) afhankelijk is van de vectoren $\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_n$ .

Voorbeelden

De vector $\rv{-1,3,-5}$ is een lineaire combinatie van de vectoren $\rv{1,1,-1}$ en $\rv{2,0,1}$ in $\mathbb{R}^3$ , want $\rv{-1,3,-5}= 3\cdot \rv{1,1,-1} -2\cdot\rv{ 2,0,1}$

De functie $\cos(3x)$ is lineair afhankelijk van de functies $\cos(x)$ en $\cos^3(x)$ in de ruimte van reële functies op $\mathbb{R}$ , want

$\cos(3x) = 4\cos^3(x)-3\cos(x)$

We zijn bijzonder geïnteresseerd in verzamelingen van alle lineaire combinaties van een gegeven stel vectoren.

Laat $n$ een natuurlijk getal zijn en laat $\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_n$ een $n$ -tal vectoren in een vectorruimte zijn.

De verzameling van alle lineaire combinaties van $\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_n$ heet de door de vectoren $\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_n$ opgespannen ruimte of hun opspansel, en wordt genoteerd als

$\linspan{ \vec{a}_1 , \ldots, \vec{a}_n}$

Bij wijze van afspraak leggen we vast dat het opspansel van niets (de lege verzameling) gelijk is aan $\linspan{}=\{0\}$ .

Notatie

In plaats van $\linspan{ \vec{a}_1 , \ldots, \vec{a}_n}$ wordt in de literatuur ook wel geschreven $\sbspmatrix{ \vec{a}_1 , \ldots, \vec{a}_n}$

Het opspansel van een enkele vector $\vec{v}$ is de lijn door $\vec{0}$ en $\vec{v}$ . Het opspansel van twee vectoren $\vec{v}$ en $\vec{w}$ die niet op één lijn door de oorsprong liggen, is het vlak door $\vec{0}$ , $\vec{v}$ en $\vec{w}$ .

Het opspansel kan ook gedefinieerd worden voor oneindige verzamelingen: het opspansel van een willekeurige verzameling vectoren $X$ is de verzameling van alle lineaire combinaties van eindig veel vectoren uit $X$ . We sluiten dus sommen van oneindig veel termen uit.

Bekijk bijvoorbeeld de vectorruimte $P$ van alle veeltermfuncties in $x$ . Voor elk natuurlijk getal $n$ is elke lineaire combinatie van $1,x,\ldots,x^n$ een veelterm van graad ten hoogste $n$ , en dus een vector van $P$ . Maar de oneindige som $\ee^x = \sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i!}x^i$ is geen element van $P$ .

De nulvector behoort altijd tot het lineaire opspansel: het is de lineaire combinatie van $\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_n$ waarbij alle coëfficiënten $\lambda_i$ gelijk aan $0$ zijn.

Het opspansel van een enkele vector $\vec{a}$ is de rechte door de oorsprong met parametervoorstelling $\lambda\cdot\vec{a}$ en is dus een lineaire deelruimte.

Het opspansel van twee vectoren $\vec{a}$ en $\vec{b}$ die geen scalair veelvoud van elkaar zijn, is een vlak door de oorsprong met parametervoorstelling $\lambda\cdot\vec{a}+\mu\cdot\vec{b}$ en is dus ook een lineaire deelruimte.

Opspansels van een stel vectoren vormen een constructieve manier om de kleinste deelruimte te bepalen die die vectoren bevat:

Opspansels zijn lineaire deelruimten

Laat $\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_n$ een $n$ -tal vectoren in een vectorruimte $V$ zijn. Het opspansel $\linspan{\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_n }$ is een lineaire deelruimte van $V$ .

Het opspansel is bevat in alle lineaire deelruimten van $V$ die de vectoren $\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_n$ bevatten. Met andere woorden: het opspansel is de kleinste lineaire deelruimte die $\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_n$ bevat.

We laten eerst zien dat $\linspan{\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_n }$ een lineaire deelruimte van $V$ is. Dit opspansel is niet leeg, want $\vec{0}$ is de lineaire combinatie van $\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_n$ waarbij alle scalairen gelijk aan $0$ zijn.

Laat $\vec{p}$ en $\vec{q}$ vectoren in $\linspan{ \vec{a}_1 , \ldots, \vec{a}_n}$ zijn. Dan zijn er scalairen $p_1,\ldots,p_n$ , $q_1,\ldots,q_n$ , zodat
$\vec{p}=p_1 \cdot\vec{a}_1 +\cdots +p_n \cdot\vec{a}_n \quad \hbox{en} \quad \vec{q}=q_1 \cdot\vec{a}_1 +\cdots +q_n\cdot \vec{a}_n$ Bijgevolg is
$\vec{p}+\vec{q}=(p_1 +q_1 )\cdot \vec{a}_1 +\cdots +(p_n +q_n )\cdot\vec{a}_n \in\linspan{ \vec{a}_1 , \ldots, \vec{a}_n}$
Ook geldt voor ieder getal $\lambda$ :
$\lambda \cdot\vec{p} =\left(\lambda \cdot p_1 \right)\cdot \vec{a}_1 +\cdots +\left(\lambda \cdot p_n\right)\cdot \vec{a}_n \in \linspan{ \vec{a}_1 , \ldots, \vec{a}_n}$ Dit bewijst dat $\linspan{ \vec{a}_1 , \ldots, \vec{a}_n}$ een lineaire deelruimte van $V$ is.

Het opspansel van $\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_n$ is de kleinste lineaire deelruimte van $V$ die $\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_n$ bevat: stel $\vec{u}$ is een vector in $\linspan{ \vec{a}_1 , \ldots, \vec{a}_n}$ en $U$ is een lineaire deelruimte die $\vec{a}_1 , \ldots, \vec{a}_n$ bevat. De laatste eigenschap van $U$ en het feit dat $U$ een lineaire deelruimte is, hebben tot gevolg dat elke lineaire combinatie van $\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_n$ ook tot $U$ behoort. Dit betekent dat $\linspan{ \vec{a}_1 , \ldots, \vec{a}_n}$ een deelverzameling is van $U$ . Omdat $\linspan{ \vec{a}_1 , \ldots, \vec{a}_n}$ zelf ook een lineaire deelruimte is die $\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_n$ bevat, is de doorsnede van alle lineaire deelruimten van $V$ die $\vec{a}_1 ,\ldots ,\vec{a}_n$ bevatten, gelijk aan $\linspan{ \vec{a}_1 , \ldots, \vec{a}_n}$ .

Kijk in $\mathbb{R}^3$ naar de vectoren $\vec{a}=\rv{1,1,-2}$ , $\vec{b}=\rv{-1,1,0}$ en $\vec{c}=\rv{0,1,-1}$ .

Bewijs dat $\linspan{\vec{a},\vec{b},\vec{c}}=\linspan{\vec{a},\vec{c}}$

Schrijf $W=\linspan{\vec{a},\vec{b},\vec{c}}$ .

Iedere lineaire combinatie van $\vec{a}$ en $\vec{c}$ is natuurlijk ook een lineaire combinatie van $\vec{a}, \vec{b}$ en $\vec{c}$ (tel er $0\,\vec{b}$ bij op), zodat $\linspan{\vec{a},\vec{c}}$ bevat is in $W$ .

Het gaat er dus om te laten zien dat elke $\vec{x} \in W$ ook tot $\linspan{\vec{a},\vec{c}}$ behoort. Zo'n vector $\vec{x}$ kan geschreven worden als
$\vec{x} =x_1 \cdot\vec{a} +x_2\cdot \vec{b} +x_3\cdot \vec{c}$ Cruciaal voor het bewijs is de observatie $\vec{b} =2\vec{c} -\vec{a}$ Dit heeft tot gevolg dat
$\begin{array}{rcl} \vec{x}&=& x_1 \cdot\vec{a} + x_2\cdot (2\vec{c} -\vec{a}) +x_3\cdot \vec{c} \\ & =&\left(x_1 -x_2\right )\cdot \vec{a} +\left(2x_2 +x_3\right )\cdot \vec{c} \end{array}$
Iedere vector van $W$ is dus een lineaire combinatie van $\vec{a}$ en $\vec{c}$ , zodat $W$ bevat is in $\linspan{\vec{a},\vec{c}}$ . De conclusie is $W=\linspan{\vec{a},\vec{c}}$ , wat we moesten bewijzen.

Nieuw voorbeeld