Complexe sinus en cosinus

Complexe getallen: Complexe functies

Complexe sinus en cosinus

De goniometrische functies kun je uitdrukken in machten van $\e$ met imaginaire exponenten:

$\begin{array}{rcl}\cos(\varphi) &=& \frac{\e^{\varphi\cdot\ii}+\e^{-\varphi\cdot\ii}}{2}\\ \sin(\varphi) &=& \frac{\e^{\varphi\cdot\ii}-\e^{-\varphi\cdot\ii}}{2\ii}\end{array}$

Bewijs: Dubbele toepassing van de formule van Euler geeft:

$\begin{array}{rcl}\frac{\e^{\varphi\cdot\ii}+\e^{-\varphi\cdot\ii}}{2}&=&\frac{\cos(\varphi )+\sin(\varphi )\cdot\ii+\cos(-\varphi )+\sin(-\varphi )\cdot\ii}{2}\\&=&\frac{\cos(\varphi )+\sin(\varphi )\cdot\ii+\cos(\varphi )-\sin(\varphi )\cdot\ii}{2}\\&=&\frac{2\cos(\varphi )}{2}\\&=&\cos(\varphi )\end{array}$ Dit bewijst de eerste gelijkheid. Het bewijs van de tweede gaat net zo.

We gebruiken deze gelijkheden om de sinus en cosinus voor alle complexe getallen $z$ te definiëren.

$\begin{array}{rcl}\cos(z) &=& \frac{1}{2}\Big(\e^{z\cdot\ii}+\e^{-z\cdot\ii}\Big)\\\\ \sin(z) &=& \frac{1}{2\ii}\Big(\e^{z\cdot\ii}-\e^{-z\cdot\ii}\Big)\end{array}$

Als $z$ reëel is, dan laten bovenstaande formules zien dat de waarden die van de bekende sinus en cosinus zijn. Het gaat hier dus inderdaad om een uitbreiding van de definitie van het domein $\mathbb R$ van de reële getallen naar het domein $\mathbb C$ van de complexe getallen.

Deze functies hebben een paar eigenschappen die bekend zijn van het reële geval. Ten eerste zijn ze ook weer periodiek. Net als in het reële geval heet een complexe functie $f(z)$ periodiek met periode $a$ als $f(z+a)=f(z)$ voor alle $z$ .

Periodiciteit van de complexe exponentiële en goniometrische functies

De complexe exponentiële functie $\exp$ is periodiek met periode $2\pi\cdot\ii$ .
De complexe sinus en cosinus, $\sin$ en $\cos$ , zijn periodiek met periode $2\pi$ .

Bewijs: Dankzij de rekenregels voor complexe machten en het speciale geval $\e^{2\pi \cdot\ii}=1$ van de formule van Euler, geldt $\e^{z+2\pi\cdot\ii}=\e^z\cdot \e^{2\pi\cdot\ii}=\e^z\cdot 1=\e^z\tiny.$

De periodiciteit van de sinus volgt uit de volgende berekening: $\begin{array}{rcl}\sin(z+2\pi)&=&\frac{1}{2\ii}\left(\e^{(z+2\pi)\cdot\ii}-\e^{-(z+2\pi)\cdot\ii}\right)\\&&\phantom{xyz}\color{blue}{\text{definitie}}\\&=&\frac{1}{2\ii}\left(\e^{z\cdot\ii}-\e^{-z\cdot\ii}\right)\\&&\phantom{xyz}\color{blue}{\text{periodiciteit van }\exp}\\&=&\sin(z) \end{array}$

Het bewijs dat de cosinus periodiek is met periode $2\pi$ gaat net zo.

Ook de volgende bekende formule geldt voor alle complexe getallen.

$\sin^2 (z)+\cos^2(z)=1\ \ \ \forall z\in \mathbb{C}\tiny.$

De gelijkheid $\sin^2 (z)+\cos^2 (z)=1$ vinden we door de definities van $\sin (z)$ en $\cos (z)$ in te vullen.

Ook de additieformules blijven gelden. Maar de absolute waarde van de complexe cosinus is niet altijd kleiner dan of gelijk aan 1, zoals voor de reële cosinus.

Los de volgende vergelijking met complexe onbekende $z$ op.

$\cos (z)=10$

$z =-\ln (10+3\sqrt{11})\cdot\ii+k\cdot 2\pi\phantom{xx}\left(k\in\mathbb{Z}\right)\lor z =-\ln (10-3\sqrt{11})\cdot\ii+k\cdot 2\pi\phantom{xx}\left( k\in\mathbb{Z}\right)$

We moeten de volgende vergelijking met onbekende $z$ oplossen:
$\frac12 \left(\e^{z\cdot\ii}+\e^{-z\cdot\ii}\right) = 10 \tiny .$ Schrijf $w=\e^{z\cdot\ii}$ . Dan is $w \neq 0$ omdat het bereik van $\exp$ gelijk is aan $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ . Herschrijving van de vergelijking in $w$ levert de volgende vergelijking en afleiding van de oplossingen in $w$ .
$\begin{array}{rcl} w+\frac{1}{w} &=& 20\\ w^2-20 w+1&=&0\\ &&\phantom{xyzuvw}\color{blue}{\text{vermenigvuldigd met }w}\\ (w-10)^2&=&99\\ &&\phantom{xyzuvw}\color{blue}{\text{kwadraat afgesplitst}}\\ w&=&10\pm {3\sqrt{11}}\\&&\phantom{xyzuvw}\color{blue}{\text{reële wortel getrokken}}\\ \end{array}$
Hieruit volgt
$\begin{array}{rcl} \e^{-\Im(z)}&=&\e^{\Re(z\cdot\ii)} = \left| \e^{z\cdot\ii}\right|= |w|=10\pm{3\sqrt{11}}\ ,\ {\rm dus}\\ \Im (z)&=&-\ln (10\pm {3\sqrt{11}})\\ \Re (z)&=&-\Im(z\cdot\ii) =-\arg \left(\e^{z\cdot\ii}\right)=-\arg( w)=0 \pmod{2\pi} ,\ {\rm dus}\\ \Re(z)&=&2k\cdot\pi\phantom{xx}\left( k\in\mathbb{Z}\right)\end{array}$

De oplossingen van de vergelijking zijn dus $\begin{array}{rcl}z & =&2k\cdot \pi-\ln (10+3\sqrt{11})\cdot\ii\phantom{xx}\left( k\in\mathbb{Z}\right)\\ &\lor&\\z & =&2k\cdot \pi-\ln (10-3\sqrt{11})\cdot\ii\phantom{xx}\left(k\in\mathbb{Z} \right)\end{array}$

De absolute waarde van de complexe cosinus is dus niet altijd kleiner dan of gelijk aan 1, zoals voor de reële cosinus.

Nieuw voorbeeld