Hoofdstelling van de algebra

Complexe getallen: Complexe veeltermen

Hoofdstelling van de algebra

Laat $p(z)$ een complexe veelterm van graad $n$ zijn.

De som van de multipliciteiten van alle oplossingen van $p(z)$ is gelijk aan $n$ .

Het bewijs van deze stelling valt buiten het kader van deze cursus.

De stelling is eerder bewezen voor veeltermen van het type $z^n-w$ .

Deze stelling geldt niet voor de reële getallen: $x^2+1$ is een reële veelterm van graad 2 die geen nulpunten in $\mathbb{R}$ heeft. Als complexe veelterm heeft $x^2+1$ precies twee nulpunten: $x=\ii$ en $x=-\ii$ .

Een versie van de hoofdstelling van de algebra die geldt voor de reële getallen, is geformuleerd in de theorie Hoofdstelling van de algebra. We zullen later zien dat de reële versie een gevolg is van de hier gegeven versie.

Volgens de stelling is elke complexe veelterm $p(z)$ van graad $n$ met leidende coëfficiënt $1$ te schrijven als het product

$\left(z-w_1\right)\cdot\left(z-w_2\right)\cdots \left(z-w_n\right)\tiny,$ waarbij $w_1,w_2,\ldots,w_n$ de nulpunten van $p(z)$ zijn; elk nulpunt komt hierbij even vaak voor als zijn multipliciteit. Een gevolg hiervan is dat elke irreducibele complexe veelterm lineair is.

Veeltermen van graad 1

Voor veeltermen van graad 1 is het nulpunt altijd direct te vinden: zo'n veelterm is te schrijven als $a\cdot z+b$ , waarbij $a$ en $b$ complexe getallen zijn met $a\ne0$ . Als

$az+b=0\tiny,$
dan volgt daaruit $z=-\frac{b}{a}$ .

Veeltermen van graad 2 We kijken nu naar veeltermen van graad 2:

$az^2+bz+c\tiny,$ waarbij $a$ , $b$ en $c$ complexe getallen zijn met $a\ne0$ . De nulpunten van deze kwadratische veelterm voldoen aan de volgende versie van de abc-formule

$z=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2a}\tiny.$ Hierbij moet $\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}$ gelezen worden als de oplossingen $w$ van de vergelijking $w^2={b^2-4ac}$ (de twee oplossingen zijn elkaars tegengestelde).

We herschrijven de veelterm als volgt:

$\begin{array}{rcl}az^2+bz+c&=& a\cdot\left(z^2+\frac{b}{a}\cdot z\right)+c\\ &=&a\left(z+\frac{b}{2 a}\right)^2+\frac{4a\cdot c- b^2}{4a}\\ &=&\frac{\left(2a\cdot\left(z+\frac{b}{2 a}\right)\right)^2-\left(b^2-4a\cdot c\right)}{4a}\end{array}$ Schrijf nu $w={2a}\cdot\left(z+\frac{b}{2 a}\right)$ . Dan vinden we de kwadratische vergelijking

$w^2={b^2-4ac}$ in de onbekende $w$ . Volgens de stelling Hogeremachtswortels heeft deze vergelijking twee oplossingen (tenzij $b^2-4a\cdot c=0$ ), waaruit direct de twee oplossingen voor $z$ volgen.

Bovenstaande techniek heet kwadraatafsplitsen.

In de abc-formule is de wortel van het complexe getal $b^2-4a\cdot c$ normaal gesproken alleen gedefinieerd is als het een niet-negatief reëel getal is (in de theorie Imaginaire getallen). Omdat er $\pm$ voor de wortel staat, wordt de onduidelijkheid over $\sqrt{b^2-4a\cdot c}$ weggenomen. Een oplossing $w$ van $w^2={b^2-4a\cdot c}$ is immers op het teken na uniek.

Schrijven we $w=\pm\sqrt{b^2-4a\cdot c}$ voor de twee oplossingen $w$ , dan volgt daaruit de abc-formule

$z=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2a}$ door voor $w$ de uitdrukking ${2a}\cdot\left(z+\frac{b}{2 a}\right)$ te substitueren, beide zijden door $2a$ te delen en ten slotte van beide zijden $\frac{b}{2 a}$ af te trekken.

Het is nog mogelijk om voor veeltermen van graad 3 en graad 4 algoritmen te geven die leiden naar de drie of vier nulpunten van deze veeltermen. Voor veeltermen van graad hoger dan vier bestaan dergelijke algoritmen niet, en is het dus betrekkelijk toevallig als we de nulpunten exact kunnen vinden. Uiteraard bestaan er algoritmen die de nulpunten numeriek benaderen.

Los de vergelijking

$z^2 + \left(2+4\cdot \ii\right)\cdot z +\ii=0$ op door middel van kwadraatafsplitsen.

$\begin{array}{rcl} z& =&-1 + \sqrt[4]{18}\cos \left({{3\cdot \pi}\over{8}}\right) + \left(-2 + \sqrt[4]{18}\sin \left({{3\cdot \pi}\over{8}}\right)\right)\cdot\ii\\& \lor&\\ z &=&-1 - \sqrt[4]{18}\cos \left({{3\cdot \pi}\over{8}}\right) + \left(-2 - \sqrt[4]{18}\sin \left({{3\cdot \pi}\over{8}}\right)\right)\cdot\ii\end{array}$

Immers, kwadraatafsplitsen levert

$(z+(1+2 \ii))^2=-3+3\ii\ ,$
zodat, wegens de stelling Hogeremachtswortels,

$\begin{array}{rcl} z+1+2\ii & =&\sqrt[4]{18}\cdot\left (\cos \left(\dfrac{3\pi}{8}\right)+\sin\left (\dfrac{3\pi}{8}\right)\right)\cdot\ii \\ &\text{of}&\\ z+1+2\ii & =&\sqrt[4]{18}\cdot\left (\cos \left(\dfrac{11\pi}{8}\right)+\sin\left( \dfrac{11\pi}{8}\right)\right)\cdot\ii \\ \end{array}$
Het antwoord volgt hieruit door aan beide zijden van elk gelijkteken $1+2\ii$ af te trekken.

Nieuw voorbeeld